Масса двух сплавов золота и серебра равна 40 кг. Первый сплав содержит 3 кг золота, а второй – 15 кг золота. Какова масса первого сплава, если содержание золота в нём на 40% меньше, чем во втором?

Решение:

• Шаг 1: Определим процентное содержание золота во втором сплаве. \[\frac{15}{40-x} \cdot 100 = \frac{1500}{40-x}\% \]
• Шаг 2: Определим процентное содержание золота в первом сплаве, которое на 40% меньше, чем во втором. \[\frac{1500}{40-x} - 40 = \frac{3}{x} \cdot 100 = \frac{300}{x}\% \]
• Шаг 3: Упростим уравнение, чтобы избавиться от процентов. \[\frac{1500}{40-x} - 40 = \frac{300}{x}\] Умножим обе части уравнения на x(40-x), чтобы избавиться от дробей: \[1500x - 40x(40-x) = 300(40-x)\] Раскроем скобки: \[1500x - 1600x + 40x^2 = 12000 - 300x\] Приведем подобные члены и получим квадратное уравнение: \[40x^2 + 200x - 12000 = 0\] Разделим уравнение на 40 для упрощения: \[x^2 + 5x - 300 = 0\]
• Шаг 4: Решим квадратное уравнение. Дискриминант: D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225 Корни уравнения: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{1225}}{2} = \frac{-5 + 35}{2} = \frac{30}{2} = 15\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{1225}}{2} = \frac{-5 - 35}{2} = \frac{-40}{2} = -20\] Так как масса не может быть отрицательной, x = 15. Но нам нужно найти массу *первого* сплава, содержание золота в котором меньше. Подставим найденное значение массы второго сплава в первое уравнение: \[40 - x = 40 - 15 = 25\] Однако, нужно проверить, соответствует ли найденная масса первому сплаву условию задачи. Если подставить x = 25 в уравнение, то оно не будет соответствовать действительности. Нужно решить задачу другим способом: \[\frac{3}{x} = 0.6 \cdot \frac{15}{40-x}\] 3(40 - x) = 0.6 \cdot 15x \[120 - 3x = 9x\] \[12x = 120\] \[x = 10\]