Маши есть полоска длиной 56 клеток. В первой клетке стоит фишка. За один ход можно подвинуть фишку вправо на 3 либо на 5 клеток. Некоторые клетки на полоске покрашены - на них нельзя делать ход (то есть при подсчёте они учитываются, но на них нельзя вставать в конце хода). Маша сделала несколько ходов, и фишка оказалась в последней клетке полоски. Сколько ходов сделала Маша?

Решение:

Всего на полоске 56 клеток. Фишка стоит в первой клетке. Последняя клетка — 56-я. Значит, фишка должна пройти 55 клеток (56 - 1 = 55).

Маша может двигать фишку на 3 или 5 клеток за один ход. Важно, что на покрашенные клетки делать ход нельзя. На полоске покрашены клетки: 3, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 26, 28, 30, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 41, 43, 45, 46, 48, 50, 51, 53, 55.

Чтобы пройти 55 клеток, Маше нужно сделать минимальное количество ходов. Для этого нужно использовать максимально возможный шаг — 5 клеток. Давайте попробуем пройти 55 клеток шагами по 5 клеток:

1. 55 : 5 = 11 ходов.

Проверим, не попадает ли фишка на покрашенные клетки:

• 1 ход: 1 + 5 = 6 (покрашена, нельзя!)

Значит, только шагами по 5 клеток пройти нельзя.

Теперь попробуем комбинировать ходы по 3 и 5 клеток, чтобы пройти 55 клеток и избегать покрашенных клеток. Покрашенные клетки — это те, на которых нельзя останавливаться.

Нам нужно пройти 55 клеток. Посмотрим, какие числа получаются при сложении 3 и 5, чтобы в итоге получить 55, и при этом не попадать на запретные клетки.

Сначала попробуем использовать как можно больше ходов по 5 клеток, но будем проверять, не попадает ли фишка на запрещенные клетки.

Если Маша сделает 10 ходов по 5 клеток, то пройдет 50 клеток. 50 + 5 = 55. Итого 11 ходов. Но 1-й ход (1+5=6) — запрещен.

Если Маша сделает 9 ходов по 5 клеток, то пройдет 45 клеток. Остается 10 клеток (55 - 45 = 10). Можно пройти 10 клеток двумя ходами по 5 клеток. Но 1-й ход (1+5=6) — запрещен. И 6-й ход (1+5+5+5+5+5 = 26) — запрещен.

Давайте попробуем сделать больше ходов по 3 клетки.

Если Маша сделает 8 ходов по 5 клеток, это 40 клеток. Остается 15 клеток (55 - 40 = 15). 15 можно пройти 5 ходами по 3 клетки. Итого 8 + 5 = 13 ходов. Проверим:

1. 1 + 3 = 4
2. 4 + 3 = 7
3. 7 + 3 = 10 (запрещено!)

Значит, такая комбинация тоже не подходит.

Если Маша сделает 7 ходов по 5 клеток, это 35 клеток. Остается 20 клеток (55 - 35 = 20). 20 можно пройти 4 ходами по 5 клеток. Итого 7 + 4 = 11 ходов. Проверим:

1. 1 + 5 = 6 (запрещено!)

Если Маша сделает 6 ходов по 5 клеток, это 30 клеток. Остается 25 клеток (55 - 30 = 25). 25 можно пройти 5 ходами по 5 клеток. Итого 6 + 5 = 11 ходов. Но 1-й ход (1+5=6) — запрещен.

Сделаем перебор вариантов, чтобы получить 55, избегая покрашенных клеток.

У нас есть 56 клеток. Фишка стартует с 1. Нужно дойти до 56. Пройти нужно 55 клеток.

Запрещенные клетки: 3, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 26, 28, 30, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 41, 43, 45, 46, 48, 50, 51, 53, 55.

Посмотрим, какие клетки не запрещены:

1 (старт) -> 1+3 = 4 -> 4+3 = 7 -> 7+3 = 10 (запрещено)

1 (старт) -> 1+3 = 4 -> 4+5 = 9 -> 9+3 = 12 -> 12+3 = 15 (запрещено)

1 (старт) -> 1+5 = 6 (запрещено)

Значит, первый ход НЕ может быть 5.

Если первый ход 3: 1+3=4. Теперь от 4 можно ходить на 3 или 5.

Вариант 1: 1 -> 4 (ход 1, +3). Теперь мы на 4. Пройти осталось 51 клетку.

1. 4 -> 7 (+3)
2. 7 -> 10 (запрещено)

Значит, от 4 нельзя ходить только на 3.

Вариант 1.1: 1 -> 4 (+3). Теперь идем от 4.

1. 4 -> 9 (+5)
2. 9 -> 12 (+3)
3. 12 -> 15 (запрещено)

Значит, идти от 4 и далее только +3 и +5 не получится.

Сделаем вывод: для того чтобы пройти 55 клеток, и избегая покрашенных, нужно найти комбинацию ходов.

Если Маша сделает 11 ходов по 3 клетки, это 33 клетки. Остается 22 клетки. 22 не делится на 5. Нужна другая комбинация.

Пусть было x ходов по 3 клетки и y ходов по 5 клеток. Тогда 3x + 5y = 55.

Возможные пары (x, y), где x и y - целые неотрицательные числа:

• y=0: 3x = 55 (нет целого x)
• y=1: 3x = 50 (нет целого x)
• y=2: 3x = 45, x = 15. Всего ходов 15+2 = 17.
• y=3: 3x = 40 (нет целого x)
• y=4: 3x = 35 (нет целого x)
• y=5: 3x = 30, x = 10. Всего ходов 10+5 = 15.
• y=6: 3x = 25 (нет целого x)
• y=7: 3x = 20 (нет целого x)
• y=8: 3x = 15, x = 5. Всего ходов 5+8 = 13.
• y=9: 3x = 10 (нет целого x)
• y=10: 3x = 5 (нет целого x)
• y=11: 3x = 0, x = 0. Всего ходов 0+11 = 11.

Таким образом, возможные количества ходов: 17, 15, 13, 11.

Теперь проверим, можем ли мы пройти 55 клеток, не попадая на запретные клетки, за 11 ходов (0*3 + 11*5 = 55).

Старт: 1. Цель: 56.

1. 1 + 5 = 6 (запрещено)

Нельзя сделать 11 ходов по 5.

Попробуем 13 ходов (5*3 + 8*5 = 15 + 40 = 55).

1. 1 + 3 = 4
2. 4 + 3 = 7
3. 7 + 3 = 10 (запрещено)

Нельзя сделать 5 ходов по 3, если они идут подряд.

Попробуем 15 ходов (10*3 + 5*5 = 30 + 25 = 55).

1. 1 + 3 = 4
2. 4 + 3 = 7
3. 7 + 3 = 10 (запрещено)

Не подходит, если первые 10 ходов по 3.

Попробуем 17 ходов (15*3 + 2*5 = 45 + 10 = 55).

1. 1 + 3 = 4
2. 4 + 3 = 7
3. 7 + 3 = 10 (запрещено)

Проблема в том, что если делать несколько ходов подряд, то рано или поздно мы попадем на запретную клетку.

Попробуем пройти 55 клеток, избегая запрещенных. Нам нужно найти такую последовательность ходов, чтобы сумма была 55, и ни одна промежуточная клетка не была запрещенной.

Рассмотрим, куда можно попасть с 1-й клетки:

• 1 + 3 = 4
• 1 + 5 = 6 (запрещено!)

Значит, первый ход должен быть 3. Мы на 4-й клетке. Пройдено 3 клетки.

Теперь мы на 4-й клетке. Нужно пройти еще 52 клетки (55 - 3 = 52).

Возможные следующие шаги с 4:

• 4 + 3 = 7
• 4 + 5 = 9

Если идем на 7 (ход 2, +3): Пройдено 3+3=6 клеток. Осталось 55-6=49 клеток.

С 7-й клетки:

• 7 + 3 = 10 (запрещено!)
• 7 + 5 = 12

Значит, с 7-й идем на 12 (ход 3, +5). Пройдено 6+5=11 клеток. Осталось 55-11=44 клетки.

С 12-й клетки:

• 12 + 3 = 15 (запрещено!)
• 12 + 5 = 17

Значит, с 12-й идем на 17 (ход 4, +5). Пройдено 11+5=16 клеток. Осталось 55-16=39 клеток.

С 17-й клетки:

• 17 + 3 = 20 (запрещено!)
• 17 + 5 = 22

Значит, с 17-й идем на 22 (ход 5, +5). Пройдено 16+5=21 клетка. Осталось 55-21=34 клетки.

С 22-й клетки:

• 22 + 3 = 25 (запрещено!)
• 22 + 5 = 27

Значит, с 22-й идем на 27 (ход 6, +5). Пройдено 21+5=26 клеток. Осталось 55-26=29 клеток.

С 27-й клетки:

• 27 + 3 = 30 (запрещено!)
• 27 + 5 = 32

Значит, с 27-й идем на 32 (ход 7, +5). Пройдено 26+5=31 клетка. Осталось 55-31=24 клетки.

С 32-й клетки:

• 32 + 3 = 35 (запрещено!)
• 32 + 5 = 37

Значит, с 32-й идем на 37 (ход 8, +5). Пройдено 31+5=36 клеток. Осталось 55-36=19 клеток.

С 37-й клетки:

• 37 + 3 = 40 (запрещено!)
• 37 + 5 = 42

Значит, с 37-й идем на 42 (ход 9, +5). Пройдено 36+5=41 клетка. Осталось 55-41=14 клеток.

С 42-й клетки:

• 42 + 3 = 45 (запрещено!)
• 42 + 5 = 47

Значит, с 42-й идем на 47 (ход 10, +5). Пройдено 41+5=46 клеток. Осталось 55-46=9 клеток.

С 47-й клетки:

• 47 + 3 = 50 (запрещено!)
• 47 + 5 = 52

Значит, с 47-й идем на 52 (ход 11, +5). Пройдено 46+5=51 клетка. Осталось 55-51=4 клетки.

С 52-й клетки:

• 52 + 3 = 55 (запрещено!)
• 52 + 5 = 57 (больше 56, нельзя)

Мы зашли в тупик. Это означает, что данный путь не ведет к цели.

Давайте попробуем другой путь.

Нужно пройти 55 клеток. Посмотрим на запрещенные клетки: 3, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 26, 28, 30, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 41, 43, 45, 46, 48, 50, 51, 53, 55.

Возможно, фишка должна сделать ровно 11 ходов, если бы не было запретов.

Попробуем сделать так, чтобы последний ход был 3. Это значит, что перед последним ходом фишка была на клетке 56 - 3 = 53. Но 53 - запрещенная клетка. Значит, последний ход не может быть 3.

Последний ход должен быть 5. Значит, перед последним ходом фишка была на клетке 56 - 5 = 51. Но 51 - запрещенная клетка.

Это значит, что комбинация ходов, которая дает 55, не может закончиться на 56, если последние шаги 3 или 5 приводят на запрещенную клетку.

Посмотрим на картинку. Покрашены клетки: 3, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 26, 28, 30, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 41, 43, 45, 46, 48, 50, 51, 53, 55.

Итак, нужно пройти 55 клеток. Посмотрим на сумму ходов:

11 ходов по 5: 55. 1+5=6 (запрещено).

10 ходов по 5 + 1 ход по 5 = 55. 10 ходов по 5, это 50. 50+5=55. Но 50 — запрещено.

10 ходов по 5, это 50. Остается 5. 50+5=55. Но 50 — запрещено.

Давайте посмотрим, где Маша могла остановиться, чтобы последний ход привел ее на 56.

Если последний ход был 3, то Маша была на 53 (запрещено).

Если последний ход был 5, то Маша была на 51 (запрещено).

Это означает, что Маша не могла сделать последний ход на 56.

Возможно, есть ошибка в понимании условия.