Маша загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр. У полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 543. Какую цифру зачеркнула Маша?

Решение:

Пусть загаданное число равно \( N \). Сумма его цифр равна \( S \). Тогда, согласно условию, \( N - S \) — это число, из которого зачеркнули одну цифру. Полученное число — 543.

Известно, что любое число при делении на 9 дает остаток, равный остатку от деления суммы его цифр на 9. То есть, \( N \equiv S \pmod{9} \). Следовательно, \( N - S \) делится на 9, то есть \( N - S \equiv 0 \pmod{9} \).

Число 543 делится на 9, так как \( 5 + 4 + 3 = 12 \), а 12 не делится на 9. Значит, число 543 не могло быть результатом вычитания суммы цифр из числа.

Давайте рассмотрим число 543. Сумма цифр в этом числе равна \( 5 + 4 + 3 = 12 \). Если мы добавим к 543 цифру, то получим число, которое делится на 9.

Возможные числа, полученные после зачеркивания цифры:

• Если зачеркнутая цифра была десятками: \( X543 \) или \( 5X43 \) или \( 54X3 \) или \( 543X \).

Пусть \( X \) — зачеркнутая цифра. Тогда число, из которого вычли сумму цифр, равно \( 543 + X \) или \( 54X + 3 \) и т.д. Но это число должно делиться на 9.

Проверим числа, которые при добавлении одной цифры становятся делимыми на 9:

• \( 543 + 0 = 543 \) (не делится на 9)
• \( 543 + 1 = 544 \) (не делится на 9)
• \( 543 + 2 = 545 \) (не делится на 9)
• \( 543 + 3 = 546 \) (не делится на 9)
• \( 543 + 4 = 547 \) (не делится на 9)
• \( 543 + 5 = 548 \) (не делится на 9)
• \( 543 + 6 = 549 \) (делится на 9: \( 549 / 9 = 61 \)). В этом случае зачеркнутая цифра — 6.
• \( 543 + 7 = 550 \) (не делится на 9)
• \( 543 + 8 = 551 \) (не делится на 9)
• \( 543 + 9 = 552 \) (не делится на 9)

Итак, число, из которого вычли сумму цифр, могло быть 549. Если это так, то зачеркнутая цифра — 6.

Проверим: если загаданное число \( N \) привело к \( N-S=549 \), то \( N-S \equiv 0 \pmod{9} \).

Теперь предположим, что зачеркнутая цифра была не последней. Пусть число было \( 54Y3 \) или \( 5Y43 \) или \( Y543 \).

Если число было \( 549 \), то \( N-S=549 \).

Пусть зачеркнутая цифра — \( X \). Тогда полученное число — 543.

Рассмотрим возможные случаи зачеркивания:

1. Зачеркнута первая цифра: \( X543 \) - неверно, так как 543 — результат.
2. Зачеркнута вторая цифра: \( 5X43 \). Тогда исходное число было \( 543 \) + \( X \) * 10 + \( 4 \) * 100 + \( 3 \) - это неверно.

Правильный подход:

Пусть загаданное четырёхзначное число — \( ABCD \), где \( A, B, C, D \) — цифры, \( A \neq 0 \).

Тогда \( N = 1000A + 100B + 10C + D \).

Сумма цифр \( S = A + B + C + D \).

\( N - S = 999A + 99B + 9C \). Это число делится на 9.

Полученное число — 543. При добавлении зачеркнутой цифры \( X \) к числу 543, получим число, которое делится на 9.

Перебираем возможные числа, которые могли получиться после зачеркивания:

1. Зачеркнутая цифра — 9: число 543. Добавляем 9. Получаем 5439. \( 5+4+3+9 = 21 \) (не делится на 9).

2. Зачеркнутая цифра — 8: число 543. Добавляем 8. Получаем 5438. \( 5+4+3+8 = 20 \) (не делится на 9).

3. Зачеркнутая цифра — 7: число 543. Добавляем 7. Получаем 5437. \( 5+4+3+7 = 19 \) (не делится на 9).

4. Зачеркнутая цифра — 6: число 543. Добавляем 6. Получаем 5436. \( 5+4+3+6 = 18 \) (делится на 9: \( 5436 / 9 = 604 \)).

5. Зачеркнутая цифра — 5: число 543. Добавляем 5. Получаем 5435. \( 5+4+3+5 = 17 \) (не делится на 9).

6. Зачеркнутая цифра — 4: число 543. Добавляем 4. Получаем 5434. \( 5+4+3+4 = 16 \) (не делится на 9).

7. Зачеркнутая цифра — 3: число 543. Добавляем 3. Получаем 5433. \( 5+4+3+3 = 15 \) (не делится на 9).

8. Зачеркнутая цифра — 0: число 543. Добавляем 0. Получаем 5430. \( 5+4+3+0 = 12 \) (не делится на 9).

Теперь рассмотрим случаи, когда зачеркнутая цифра находится не на последнем месте.

Пусть число, из которого вычли сумму цифр, это \( K \). \( K \) делится на 9.

Если зачеркнули цифру, и получилось 543. Это значит, что исходное число было похоже на 543, но с одной добавленной цифрой.

Возможные варианты исходного числа (делимого на 9):

• \( X543 \) — невозможно, т.к. \( X \) добавлено.
• \( 5X43 \) — \( 5+X+4+3 = 12+X \). Для делимости на 9, \( 12+X \) должно делиться на 9. \( X=6 \) (\( 12+6=18 \)). Тогда число 5643. \( 5643 / 9 = 627 \). Зачеркнутая цифра — 6.
• \( 54X3 \) — \( 5+4+X+3 = 12+X \). Для делимости на 9, \( 12+X \) должно делиться на 9. \( X=6 \) (\( 12+6=18 \)). Тогда число 5463. \( 5463 / 9 = 607 \). Зачеркнутая цифра — 6.
• \( 543X \) — \( 5+4+3+X = 12+X \). Для делимости на 9, \( 12+X \) должно делиться на 9. \( X=6 \) (\( 12+6=18 \)). Тогда число 5436. \( 5436 / 9 = 604 \). Зачеркнутая цифра — 6.

В каждом из этих случаев зачеркнутая цифра — 6.

Пример проверки:

Пусть Маша загадала число 5436. Сумма цифр = \( 5+4+3+6 = 18 \). \( 5436 - 18 = 5418 \). Если зачеркнули 8, получили 5413 — не 543. Если зачеркнули 1, получили 5483 — не 543.

Проверим случай, когда число после вычитания суммы цифр делилось на 9. Это число — 549.

Пусть \( N - S = 549 \).

Если загаданное число — 5490. Сумма цифр = \( 5+4+9+0=18 \). \( 5490 - 18 = 5472 \). Не 549.

Если загаданное число — 5496. Сумма цифр = \( 5+4+9+6=24 \). \( 5496 - 24 = 5472 \). Не 549.

Если загаданное число — 604. Это не 4-значное.

Если число, из которого вычли сумму цифр, было \( K \) и \( K ody{\text{делится на } 9}\).

Пусть \( K = 543 \text{ (добавив 0)} \). \( 543 \text{ не делится на } 9 \).

Пусть \( K = 543 \text{ (добавив 6)} \). \( K = 5436 \). \( 5436 / 9 = 604 \).

Если \( K = 5436 \). Нам нужно найти такое \( N \), что \( N-S=5436 \).

Пусть \( N = 5436Y \). \( S = 5+4+3+6+Y = 18+Y \).

\( N-S = 54360 + Y - (18+Y) = 54342 \). Не 5436.

Пусть \( N = 54XY6 \). \( S = 5+4+X+Y+6 = 15+X+Y \). \( N-S = 54000 + 100X + 10Y + 6 - (15+X+Y) = 53991 + 99X + 9Y \).

Если \( N-S=5436 \), то \( 53991 + 99X + 9Y = 5436 \) — это невозможно, так как \( 53991 > 5436 \).

Правильный логический ход:

Пусть загаданное число \( N \). \( N \equiv S ody{\text{ (mod 9)}} \). Тогда \( N-S \equiv 0 ody{\text{ (mod 9)}} \).

Число, которое получилось после вычитания и зачеркивания цифры — 543.

Пусть \( K = N - S \). \( K \) делится на 9.

Пусть \( X \) — зачеркнутая цифра. Тогда число, полученное после зачеркивания, — 543.

Это означает, что \( K \) — это число 543 с добавленной одной цифрой \( X \), и \( K \) делится на 9.

Возможные значения \( K \):

• \( X543 \) — не имеет смысла, так как 543 — результат.
• \( 5X43 \). \( 5+X+4+3 = 12+X \). Чтобы делилось на 9, \( X=6 \). \( K = 5643 \).
• \( 54X3 \). \( 5+4+X+3 = 12+X \). Чтобы делилось на 9, \( X=6 \). \( K = 5463 \).
• \( 543X \). \( 5+4+3+X = 12+X \). Чтобы делилось на 9, \( X=6 \). \( K = 5436 \).

В этих случаях зачеркнутая цифра — 6.

Проверим один из случаев. Пусть \( K = 5436 \).

Значит, \( N - S = 5436 \).

Пусть загаданное число \( N = 54360 \). \( S = 5+4+3+6+0 = 18 \). \( N-S = 54360 - 18 = 54342 \). Не 5436.

Пусть загаданное число \( N = 5436m \) где \( m \) - последняя цифра. \( N = 54360 + m \). \( S = 18 + m \).

\( N-S = 54360 + m - (18+m) = 54342 \).

Это не работает, если \( K \) — это число 543 с добавленной цифрой.

Правильно: \( K \) — число, полученное из \( N-S \) путем зачеркивания цифры. \( K=543 \).

\( N-S \) — это число, которое при зачеркивании одной цифры дает 543.

Возможные значения \( N-S \):

• \( X543 \) — здесь \( X \) — зачеркнутая цифра. \( N-S = 543 + X \times 1000 \) (если \( X \) — первая цифра).

Число \( N-S \) должно делиться на 9.

Рассмотрим числа, которые при зачеркивании одной цифры дают 543.

1. Зачеркнули первую цифру: \( X543 \). \( N-S = X543 \). \( X+5+4+3 = X+12 \) должно делиться на 9. \( X=6 \). \( N-S = 6543 \).

2. Зачеркнули вторую цифру: \( 5X43 \). \( N-S = 5X43 \). \( 5+X+4+3 = 12+X \) должно делиться на 9. \( X=6 \). \( N-S = 5643 \).

3. Зачеркнули третью цифру: \( 54X3 \). \( N-S = 54X3 \). \( 5+4+X+3 = 12+X \) должно делиться на 9. \( X=6 \). \( N-S = 5463 \).

4. Зачеркнули четвертую цифру: \( 543X \). \( N-S = 543X \). \( 5+4+3+X = 12+X \) должно делиться на 9. \( X=6 \). \( N-S = 5436 \).

Итак, \( N-S \) может быть 6543, 5643, 5463, 5436. Во всех случаях зачеркнутая цифра — 6.

Проверим одно из предположений: Пусть \( N-S = 5436 \).

Мы знаем, что \( N \) — четырёхзначное число. \( N = 1000A + 100B + 10C + D \). \( S = A+B+C+D \). \( N-S = 999A + 99B + 9C = 5436 \).

Делим на 9: \( 111A + 11B + C = 5436 / 9 = 604 \).

Подбираем \( A, B, C \):

• Если \( A = 5 \): \( 111 \times 5 = 555 \). \( 11B + C = 604 - 555 = 49 \). Если \( B=4 \), \( 11 \times 4 = 44 \). \( C = 49 - 44 = 5 \). \( A=5, B=4, C=5 \).
• \( N = 545D \). \( S = 5+4+5+D = 14+D \). \( N-S = 5450+D - (14+D) = 5436 \). Это подходит!

Итак, загаданное число \( N = 545D \). \( N-S = 5436 \). Зачеркнутая цифра — 6.

Проверим: Пусть загадано число 5454. \( S=5+4+5+4=18 \). \( N-S = 5454 - 18 = 5436 \). Зачеркнули цифру 6 из числа 5436, получили 543. Маша зачеркнула цифру 6.

Пусть загадано число 5453. \( S=5+4+5+3=17 \). \( N-S = 5453 - 17 = 5436 \). Зачеркнули цифру 6 из числа 5436, получили 543. Маша зачеркнула цифру 6.

Пусть загадано число 5455. \( S=5+4+5+5=19 \). \( N-S = 5455 - 19 = 5436 \). Зачеркнули цифру 6 из числа 5436, получили 543. Маша зачеркнула цифру 6.

Пусть загадано число 5450. \( S=5+4+5+0=14 \). \( N-S = 5450 - 14 = 5436 \). Зачеркнули цифру 6 из числа 5436, получили 543. Маша зачеркнула цифру 6.

Во всех случаях, когда \( N-S=5436 \), зачеркнутая цифра — 6.

Ответ: 6