6 M 190° OK-6 ZMON-120° MK, NK -? 00160° 30 60° K N

Решение:

1. Так как OM и ON - радиусы, проведенные в точки касания (M и N), то углы \(\angle OMK\) и \(\angle ONK\) прямые, то есть равны 90°.
2. \(\angle MON = 120^\circ\) (дано).
3. Рассмотрим четырехугольник OMKN. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Следовательно, \[\angle MKN = 360^\circ - (\angle OMK + \angle ONK + \angle MON) = 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 120^\circ) = 60^\circ.\]
4. Треугольники OMK и ONK равны, так как OM = ON (радиусы), OK - общая сторона, и \(\angle OMK = \angle ONK = 90^\circ\).
5. В прямоугольном треугольнике OMK: OM = ON = OK \(\cdot\) sin(\(\frac{1}{2}\) \(\angle MOK\)), где \(\angle MOK = \frac{1}{2}\) \(\angle MON\) = 60°.
6. OK = 6 (дано). OM = OK \(\cdot\) sin(30°) = 6 \(\cdot\) \(\frac{1}{2}\) = 3.
7. Рассмотрим прямоугольный треугольник OMK. По теореме Пифагора, \[MK = \sqrt{OK^2 - OM^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}.\]
8. Так как треугольники OMK и ONK равны, MK = NK.

Ответ: MK = NK = \(3\sqrt{3}\)