Луч КА является биссектрисой угла ВКС. Найдите градусную меру угла ВКМ, если градусная мера угла ВКС равна 4/9 развернутого угла, а точка К является серединой отрезка АМ.

Решение:

1. Найдём меру угла ВКС:
   Развёрнутый угол равен \( 180^{\circ} \).
   Угол ВКС равен \( \frac{4}{9} \) от развёрнутого угла:
   \[ \angle ВКС = \frac{4}{9} \cdot 180^{\circ} = 4 \cdot 20^{\circ} = 80^{\circ} \]
2. Определим меру угла ВКМ:
   Луч КА является биссектрисой угла ВКС. Это значит, что он делит угол ВКС пополам.
   Точка К является серединой отрезка АМ. Это означает, что угол ВКМ равен углу АВК.
   Так как КА — биссектриса, то \( \angle BKA = \angle CKA = \frac{\angle BKC}{2} \)
3. Из условия задачи:
   Кажется, в условии есть неточность. Если КА — биссектриса угла ВКС, то она не может быть связана с точкой М так, чтобы угол ВКМ был равен углу АВК. Возможно, имелось в виду, что точка М лежит на продолжении луча СВ, или что КМ - это другая прямая.
   Предположим, что КМ — это луч, продолжающий КА, и что точка М лежит на прямой, образующей угол с ВК, но без точного геометрического построения или дополнительной информации, невозможно точно определить угол ВКМ.
   
   Переосмысление условия:
   Если КА — биссектриса угла ВКС, и мы ищем угол ВКМ, то, вероятно, точка М как-то связана с углами, образованными КА.
   Однако, информация о том, что К — середина отрезка АМ, не даёт прямой связи для вычисления угла ВКМ, если мы не знаем положения точек А и М относительно углов ВКС.
   
   Возможная интерпретация:
   Если предположить, что речь идет об угле АВМ, и КА является биссектрисой, и К - середина АМ, это создает запутанную ситуацию.
   
   Давайте предположим, что в условии опечатка, и КА является биссектрисой угла ВКА, или что КМ - это продолжение луча КА, и угол ВКМ нужно найти.
   
   Если КА - биссектриса угла ВКС, то \( \angle BKA = \angle CKA = \frac{80^{\circ}}{2} = 40^{\circ} \).
   Если К является серединой отрезка АМ, это не помогает нам найти угол ВКМ без дополнительных данных о расположении А и М.
   
   Если предположить, что КМ - это продолжение луча КА, и нужно найти угол ВКМ:
   Тогда \( \angle BKM = \angle BKA = 40^{\circ} \).
   
   Если предположить, что КА - биссектриса угла ВКС, и угол ВКС = 80 градусов. И точка М находится так, что нам нужно найти угол ВКМ, где КМ - это что-то связанное с АМ.
   
   Пересмотрим условие:
   Луч КА является биссектрисой угла ВКС. Найдите градусную меру угла ВКМ, если градусная мера угла ВКС равна 4/9 развернутого угла, а точка К является серединой отрезка АМ.
   
   Наиболее вероятная интерпретация, исходя из стандартных задач:
   Вероятно, имеется в виду, что отрезок AM является частью некоторого большего построения, и К — середина АМ. А КА — биссектриса ВКС.
   Так как КА — биссектриса ВКС, то \( \angle BKA = \angle CKA = \frac{1}{2} \angle BKC \).
   Мы уже нашли \( \angle BKC = 80^{\circ} \).
   Значит, \( \angle BKA = \frac{1}{2} \cdot 80^{\circ} = 40^{\circ} \).
   
   Информация о том, что К — середина отрезка АМ, сама по себе не определяет угол ВКМ, если мы не знаем, где расположены точки А и М.
   
   Если предположить, что точки А, К, М лежат на одной прямой, и АМ - это отрезок, где К - середина.
   И если угол ВКМ ищется, то, возможно, это продолжение луча КА, или что-то связанное с ним.
   
   Если КА - биссектриса, то угол BKA = 40 градусов.
   Если точка М находится так, что луч KM совпадает с лучом KA, то угол ВКМ = 40 градусов.
   Если точка М находится так, что луч KM противоположен лучу KA (т.е. А, К, М лежат на одной прямой, и КА - часть АМ), то тогда угол ВКМ будет смежным с углом BKA, если B, K, M образуют прямую, но это не указано.
   
   Самое логичное предположение:
   Угол ВКМ ищется, и его значение зависит от биссектрисы КА. Наиболее простое геометрическое соответствие — если луч КМ совпадает с лучом КА.
   
   Тогда:
   \( \angle BKМ = \angle BKA \)
   \( \angle BKA = \frac{1}{2} \angle BKC \)
   \( \angle BKC = 80^{\circ} \)
   \( \angle BKA = \frac{1}{2} \cdot 80^{\circ} = 40^{\circ} \)
   
   При условии, что луч КМ совпадает с лучом КА.

Ответ: 40^{\(\circ\)}.