6. \(\log_{7}^{2}x + \log_{7}x - 2 = 0\)

Пусть \(y = \log_{7}x\). Тогда уравнение принимает вид:

y^2 + y - 2 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9

y_1 = \(\frac{-1 + \sqrt{9}}{2}\) = \(\frac{-1 + 3}{2}\) = 1

y_2 = \(\frac{-1 - \sqrt{9}}{2}\) = \(\frac{-1 - 3}{2}\) = -2

Вернемся к переменной x:

Для y_1 = 1:

\(\log_{7}x = 1\)

x = 7^1

x = 7

Для y_2 = -2:

\(\log_{7}x = -2\)

x = 7^{-2}

x = \(\frac{1}{49}\)

Проверим, входят ли x = 7 и x = \(\frac{1}{49}\) в область определения логарифма:

Для x = 7:

x = 7 > 0

Для x = \(\frac{1}{49}\):

x = \(\frac{1}{49}\) > 0

Значит, x = 7 и x = \(\frac{1}{49}\) являются решениями.

**Ответ: x = 7, x = \(\frac{1}{49}\)**