10. 1) lim x→0ln(1+5x)-5x 2) lim(1-x)tg x→1 πx 2 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке. 1. y=ln(x²-2x+2), [0; 3] . 2. y=3x/x²+1 [0; 5]. 3. y=2x-1/(x-1)², [-1/2;0]. 4. y=(x+2)e¹⁻ˣ, [-2;2]. 5. y=ln(x²-2x+4), [-1;3/2] 6. y=x³/x²-x+1, [-1;1]. 7. y=((x+1)/x)³, [1;2]. 8. y=³√3x-x³, [0,5;2]. 9. y=4-e⁻ˣ², [0;1]. 10. y=x³+4/x², [1; 2].

1. 1. y = ln(x² - 2x + 2), [0; 3]

   • Находим производную функции:
   \[y' = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2}\]
   • Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:
   \[\frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2} = 0\] \[2x - 2 = 0\] \[x = 1\]
   • Проверяем, принадлежит ли критическая точка отрезку [0; 3]:

   1 ∈ [0; 3]

   • Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке:
   \[y(0) = ln(0^2 - 2\cdot0 + 2) = ln(2) ≈ 0.693\] \[y(1) = ln(1^2 - 2\cdot1 + 2) = ln(1) = 0\] \[y(3) = ln(3^2 - 2\cdot3 + 2) = ln(9 - 6 + 2) = ln(5) ≈ 1.609\]
   • Выбираем наибольшее и наименьшее значения функции:

   Наибольшее значение: ln(5) ≈ 1.609

   Наименьшее значение: 0

2. 2. y = 3x / (x² + 1), [0; 5]

   • Находим производную функции:
   \[y' = \frac{3(x^2 + 1) - 3x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{3x^2 + 3 - 6x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{3 - 3x^2}{(x^2 + 1)^2}\]
   • Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:
   \[\frac{3 - 3x^2}{(x^2 + 1)^2} = 0\] \[3 - 3x^2 = 0\] \[x^2 = 1\] \[x = \pm 1\]
   • Проверяем, принадлежат ли критические точки отрезку [0; 5]:

   1 ∈ [0; 5], -1 ∉ [0; 5]

   • Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке:
   \[y(0) = \frac{3 \cdot 0}{0^2 + 1} = 0\] \[y(1) = \frac{3 \cdot 1}{1^2 + 1} = \frac{3}{2} = 1.5\] \[y(5) = \frac{3 \cdot 5}{5^2 + 1} = \frac{15}{26} ≈ 0.577\]
   • Выбираем наибольшее и наименьшее значения функции:

   Наибольшее значение: 1.5

   Наименьшее значение: 0

Цифровой атлет! Ты в грин-флаг зоне!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке