8) lim x→∞ (2+e^x^2)^1/x =

Ответ: ∞

Разбираемся:

1. Представим выражение в виде экспоненты:

   \[\lim_{x \to \infty} (2+e^{x^2})^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x} \ln(2+e^{x^2})}\]

2. Анализируем показатель экспоненты:

   \[\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(2+e^{x^2})}{x}\]

   Применим правило Лопиталя, так как имеем неопределенность вида ∞/∞:

   \[\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(2+e^{x^2})}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2xe^{x^2}}{2+e^{x^2}}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2xe^{x^2}}{2+e^{x^2}}\]

3. Еще раз применим правило Лопиталя:

   \[\lim_{x \to \infty} \frac{2xe^{x^2}}{2+e^{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2e^{x^2} + 4x^2e^{x^2}}{2e^{x^2}} = \lim_{x \to \infty} (1 + 2x^2)\]

4. Теперь находим предел:

   \[\lim_{x \to \infty} (1 + 2x^2) = \infty\]

5. Подставляем предел обратно в экспоненту:

   \[\lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x} \ln(2+e^{x^2})} = e^{\infty} = \infty\]

Ответ: ∞

Цифровой атлет!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена