Легковая машина может доехать от одного города до другого за 12 ч, а грузовая — за 18 ч. Через сколько часов встретятся машины, если они выедут одновременно из этих городов навстречу друг другу?

Решение:

Пусть весь путь между городами равен 1 (целое). Скорость легковой машины равна \( \frac{1}{12} \) пути в час, а скорость грузовой машины равна \( \frac{1}{18} \) пути в час.

Когда машины едут навстречу друг другу, их скорости складываются. Это называется скорость сближения.

Скорость сближения равна:

\[ \frac{1}{12} + \frac{1}{18} \]

Чтобы сложить дроби, приведём их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 18 — это 36.

\[ \frac{1 \times 3}{12 \times 3} + \frac{1 \times 2}{18 \times 2} = \frac{3}{36} + \frac{2}{36} = \frac{5}{36} \]

Скорость сближения равна \( \frac{5}{36} \) пути в час.

Чтобы найти время, через которое машины встретятся, нужно разделить весь путь (1) на скорость сближения:

\[ 1 : \frac{5}{36} = 1 \times \frac{36}{5} = \frac{36}{5} \]

Переведём полученную дробь в смешанное число:

\[ \frac{36}{5} = 7 \frac{1}{5} \]

\( \frac{1}{5} \) часа — это \( \frac{1}{5} \times 60 = 12 \) минут.

Значит, машины встретятся через 7 часов 12 минут.

Ответ: 7 часов 12 минут.