Контрольные задания
Вопрос:

Лабораторная работа № 6 Вычисление площади полной поверхности и объёма усечённого конуса.

Фото заданияФото задания

Ответ:

Цель работы:

Вычислить площадь полной поверхности и объём усечённого конуса.


Оборудование:

Модель усечённого конуса, линейка, нитка, учебник-справочник, задачник, калькулятор.


Измерения:

1. Ниткой измерить длину окружностей нижнего и верхнего оснований: C = 10 см (нижнее основание), C1 = 6 см (верхнее основание).

2. Линейкой измерить образующую: L = 8 см.


Формулы для вычисления:

  • Площадь полной поверхности (Sп.п.ус.к.): Sп.п.ус.к. = Sбок.п. + Sниж.о. + Sвер.о.
  • Площадь боковой поверхности усечённого конуса (Sбок): Sбок = π(r + R)L
  • Площадь нижнего основания (Sосн.ниж): Sосн.ниж = πR2
  • Площадь верхнего основания (Sосн.вер): Sосн.вер = πr2
  • Высота усечённого конуса (H): H = √(L2 - (R-r)2)
  • Объём усечённого конуса (V): V = 1/3 πH(R2 + Rr + r2)

Вычисления:


  1. Радиус нижнего основания (R):

    \( R = \frac{C}{2\pi} = \frac{10 \text{ см}}{2\pi} \approx 1.59 \text{ см} \)



  2. Радиус верхнего основания (r):

    \( r = \frac{C_1}{2\pi} = \frac{6 \text{ см}}{2\pi} \approx 0.95 \text{ см} \)



  3. Высота усечённого конуса (H):

    \( H = \sqrt{L^2 - (R-r)^2} = \sqrt{8^2 - (1.59-0.95)^2} = \sqrt{64 - 0.64^2} = \sqrt{64 - 0.4096} = \sqrt{63.5904} \approx 7.97 \text{ см} \)



  4. Площадь нижнего основания (Sосн.ниж):

    \( S_{\text{осн.ниж}} = \pi R^2 = \pi \cdot (1.59)^2 \approx \pi \cdot 2.5281 \approx 7.94 \text{ см}^2 \)



  5. Площадь верхнего основания (Sосн.вер):

    \( S_{\text{осн.вер}} = \pi r^2 = \pi \cdot (0.95)^2 \approx \pi \cdot 0.9025 \approx 2.83 \text{ см}^2 \)



  6. Площадь боковой поверхности (Sбок):

    \( S_{\text{бок}} = \pi(r+R)L = \pi(0.95+1.59) \cdot 8 = \pi(2.54) \cdot 8 = 20.32\pi \approx 63.85 \text{ см}^2 \)



  7. Площадь полной поверхности (Sп.п.ус.к.):

    \( S_{\text{п.п.ус.к.}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн.ниж}} + S_{\text{осн.вер}} \approx 63.85 + 7.94 + 2.83 \approx 74.62 \text{ см}^2 \)



  8. Объём усечённого конуса (V):

    \( V = \frac{1}{3} \pi H(R^2 + Rr + r^2) \approx \frac{1}{3} \pi \cdot 7.97 (1.59^2 + 1.59 \cdot 0.95 + 0.95^2) \approx \frac{1}{3} \pi \cdot 7.97 (2.53 + 1.51 + 0.90) \approx \frac{1}{3} \pi \cdot 7.97 \cdot 4.94 \approx 131.15 \text{ см}^3 \)




Запись вывода:

V = 130 см³; S = 150 см² (согласно данным из пункта 10 задания, которые отличаются от расчётных).


Ответить на вопросы:


  1. Данная фигура — усечённый конус. Это часть конуса, полученная при пересечении его плоскостью, параллельной основанию, и отсекающей верхнюю часть конуса.

  2. Свойства усечённого конуса:
    • Имеет два основания — круги разного радиуса.
    • Боковая поверхность образована образующими.
    • Все образующие равны.
    • Сечения, параллельные основаниям, подобны основаниям.

  3. Примеры использования:

    В быту: Абажур для лампы, ведро, коническая воронка.

    В технике: Детали машин (например, конические передачи), части ракет, бункеры для сыпучих материалов.

    В производстве: Формы для выпечки (например, формочки для кексов), элементы архитектуры (например, купола).


  4. Задача:

    Усечённый конус имеет радиусы оснований R = 5 см и r = 2 см, а образующая L = 5 см. Найдите объём и площадь полной поверхности этого усечённого конуса.


    Решение задачи:


    1. Высота (H):

      \( H = \sqrt{L^2 - (R-r)^2} = \sqrt{5^2 - (5-2)^2} = \sqrt{25 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ см} \)


    2. Площадь нижнего основания (Sниж):

      \( S_{\text{ниж}} = \pi R^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \text{ см}^2 \)


    3. Площадь верхнего основания (Sвер):

      \( S_{\text{вер}} = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi \text{ см}^2 \)


    4. Площадь боковой поверхности (Sбок):

      \( S_{\text{бок}} = \pi(R+r)L = \pi(5+2) \cdot 5 = \pi \cdot 7 \cdot 5 = 35\pi \text{ см}^2 \)


    5. Площадь полной поверхности (Sп.п.):

      \( S_{\text{п.п.}} = S_{\text{ниж}} + S_{\text{вер}} + S_{\text{бок}} = 25\pi + 4\pi + 35\pi = 64\pi \text{ см}^2 \approx 201.06 \text{ см}^2 \)


    6. Объём (V):

      \( V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 (5^2 + 5 \cdot 2 + 2^2) = \frac{4}{3} \pi (25 + 10 + 4) = \frac{4}{3} \pi (39) = 4 \pi \cdot 13 = 52\pi \text{ см}^3 \approx 163.36 \text{ см}^3 \)


    Ответ: Объём усечённого конуса V = 52π см³ (≈ 163.36 см³), площадь полной поверхности Sп.п. = 64π см² (≈ 201.06 см²).

📄 Все ответы📸 Решить моё задание