Квадрат вписан в равнобедренный прямоугольный треугольник, причём одна вершина квадрата расположена на гипотенузе, противоположная ей вершина совпадает с вершиной прямого угла треугольника, а остальные лежат на катетах. Найдите сторону квадрата, если катет треугольника равен 24.

Обозначим сторону квадрата через \(x\). Его вершина в прямом углу треугольника, а две соседние вершины лежат на катетах. Поэтому расстояние от прямого угла до каждой из них равно \(x\).

Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника соединяет точки на катетах, удалённые от прямого угла на 24. По подобию или по уравнению гипотенузы вершина квадрата на гипотенузе достигается, когда сумма этих расстояний равна 24:

\(x+x=24\).

\(2x=24\), поэтому \(x=12\).

Ответ: 12.