Ксюша загадала число. Она сказала: «Если моё число разделить на 11, то остаток будет в 2 раза меньше, чем частное». Какое число загадала Ксюша, если известно, что загаданное число больше 140, но меньше 170?

Решение:

Пусть загаданное число равно \( N \).

По условию задачи, при делении числа \( N \) на 11, остаток в 2 раза меньше частного. Обозначим частное через \( q \), а остаток через \( r \).

Известно, что \( N = 11q + r \).

По условию: \( r = \frac{q}{2} \). Так как остаток должен быть целым числом, \( q \) должно быть чётным. Пусть \( q = 2k \) для некоторого целого \( k \).

Тогда \( r = \frac{2k}{2} = k \).

Подставим \( q = 2k \) и \( r = k \) в формулу для \( N \):

\( N = 11 \cdot (2k) + k = 22k + k = 23k \).

Таким образом, загаданное число должно быть кратно 23.

Также по условию, число \( N \) больше 140, но меньше 170:

\( 140 < N < 170 \)

Подставим \( N = 23k \):

\( 140 < 23k < 170 \)

Разделим все части неравенства на 23:

\( \frac{140}{23} < k < \frac{170}{23} \)

\( 6.08... < k < 7.39... \)

Так как \( k \) — целое число, единственное возможное значение для \( k \) — это \( k = 7 \).

Теперь найдём загаданное число \( N \):

\( N = 23k = 23 \cdot 7 = 161 \).

Проверим условия:

• \( 161 > 140 \) и \( 161 < 170 \) — условие выполнено.
• Разделим 161 на 11: \( 161 : 11 = 14 \) (частное) и \( 7 \) (остаток).
• Проверим, что остаток в 2 раза меньше частного: \( 7 = \frac{14}{2} \) — условие выполнено.

Ответ: 161.