284*. Круглый стальной брус диаметром 2 см, длиной 16 м растягивается силой, равной 36 кН. Найдите удлинение этого бруса.

Для решения задачи необходимо воспользоваться законом Гука для продольной деформации:

$$\sigma = E \varepsilon$$

где:

• $$\sigma$$ - механическое напряжение,
• $$E$$ - модуль Юнга для материала (стали),
• $$\varepsilon$$ - относительная деформация.

Также нужно знать, что:

• Механическое напряжение $$\sigma = \frac{F}{A}$$, где F - сила, A - площадь поперечного сечения.
• Относительная деформация $$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$, где $$\Delta L$$ - абсолютное удлинение, $$L_0$$ - начальная длина.

Из этих формул можно получить:

$$\frac{F}{A} = E \frac{\Delta L}{L_0}$$

Выразим отсюда удлинение $$\Delta L$$:

$$\Delta L = \frac{F L_0}{A E}$$

Площадь поперечного сечения бруса:

$$A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \pi d^2 / 4$$

Где d - диаметр бруса.

Теперь подставим числовые значения, но сперва переведем все в систему СИ:

• d = 2 см = 0.02 м
• L₀ = 16 м
• F = 36 кН = 36000 Н
• Модуль Юнга для стали E ≈ 200 ГПа = 200 × 10⁹ Па

Вычислим площадь поперечного сечения:

$$A = \pi (0.02)^2 / 4 = \pi \cdot 0.0004 / 4 = \pi \cdot 0.0001 \approx 3.14 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$$

Подставим в формулу для удлинения:

$$\Delta L = \frac{36000 \cdot 16}{3.14 \cdot 10^{-4} \cdot 200 \cdot 10^9} = \frac{36000 \cdot 16}{3.14 \cdot 2 \cdot 10^5} = \frac{36 \cdot 16}{3.14 \cdot 2 \cdot 10} = \frac{576}{62.8} \approx 9.17 \cdot 10^{-3} \text{ м}$$ $$\Delta L \approx 9.17 \text{ мм}$$

Ответ: 9.17 мм