516. Круглая железная дробинка массой 11,7 г соединена с пенопластовым кубиком массой 1,2 г. Всю систему полно- стью погрузили в воду. Общий вес в воде 6,4 \cdot 10-2 Н. Какова плотность пенопласта?

Ответ: 200 кг/м³

Решение:

Шаг 1: Переведем все значения в систему СИ:

• Масса дробинки: m₁ = 11,7 г = 0,0117 кг
• Масса пенопласта: m₂ = 1,2 г = 0,0012 кг
• Общий вес в воде: P = 6,4 \cdot 10⁻² Н = 0,064 Н

Шаг 2: Запишем условие равновесия системы в воде:

Сила тяжести системы равна сумме архимедовых сил, действующих на дробинку и пенопласт:

\[(m₁ + m₂)g = F_A₁ + F_A₂\]

где g = 9,8 м/с² - ускорение свободного падения, F_A₁ и F_A₂ - архимедовы силы, действующие на дробинку и пенопласт соответственно.

Шаг 3: Распишем архимедовы силы:

Архимедова сила определяется формулой:

\[F_A = \rho_water \cdot V \cdot g\]

где \(\rho_{water}\) = 1000 кг/м³ - плотность воды, V - объем тела.

Тогда для дробинки и пенопласта:

\[F_A₁ = \rho_water \cdot V₁ \cdot g = \rho_water \cdot \frac{m₁}{\rho₁} \cdot g\] \[F_A₂ = \rho_water \cdot V₂ \cdot g = \rho_water \cdot \frac{m₂}{\rho₂} \cdot g\]

где \(\rho₁\) - плотность дробинки (железа), \(\rho₂\) - плотность пенопласта.

Плотность железа: \(\rho₁\) = 7800 кг/м³.

Шаг 4: Подставим выражения для архимедовых сил в уравнение равновесия:

\[(m₁ + m₂)g = \rho_water \cdot \frac{m₁}{\rho₁} \cdot g + \rho_water \cdot \frac{m₂}{\rho₂} \cdot g\]

Сократим g:

\[m₁ + m₂ = \rho_water \cdot \frac{m₁}{\rho₁} + \rho_water \cdot \frac{m₂}{\rho₂}\]

Шаг 5: Выразим плотность пенопласта \(\rho₂\):

\[\rho_water \cdot \frac{m₂}{\rho₂} = m₁ + m₂ - \rho_water \cdot \frac{m₁}{\rho₁}\] \[\frac{m₂}{\rho₂} = \frac{m₁ + m₂}{\rho_water} - \frac{m₁}{\rho₁}\] \[\rho₂ = \frac{m₂}{\frac{m₁ + m₂}{\rho_water} - \frac{m₁}{\rho₁}}\]

Шаг 6: Подставим значения и вычислим:

\[\rho₂ = \frac{0.0012}{\frac{0.0117 + 0.0012}{1000} - \frac{0.0117}{7800}}\] \[\rho₂ = \frac{0.0012}{\frac{0.0129}{1000} - \frac{0.0117}{7800}}\] \[\rho₂ = \frac{0.0012}{0.0000129 - 0.0000015}\] \[\rho₂ = \frac{0.0012}{0.0000114} \approx 105.26 \text{ кг/м³}\]

Шаг 7: Учтем, что в условии дан общий вес системы в воде, а не просто условие плавания. Вес тела в воде равен разности между силой тяжести и архимедовой силой, то есть:

\[P = (m_1 + m_2)g - (F_{A1} + F_{A2})\] \[P = (m_1 + m_2)g - \rho_{water} g (V_1 + V_2)\] \[P = (m_1 + m_2)g - \rho_{water} g (\frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2})\]

Выразим плотность пенопласта:

\[\frac{P}{g} = (m_1 + m_2) - \rho_{water} (\frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2})\] \[\rho_{water} \frac{m_2}{\rho_2} = (m_1 + m_2) - \frac{P}{g} - \rho_{water} \frac{m_1}{\rho_1}\] \[\frac{m_2}{\rho_2} = \frac{(m_1 + m_2) - \frac{P}{g} - \rho_{water} \frac{m_1}{\rho_1}}{\rho_{water}}\] \[\rho_2 = \frac{m_2 \rho_{water}}{(m_1 + m_2) - \frac{P}{g} - \rho_{water} \frac{m_1}{\rho_1}}\]

Подставим численные значения:

\[\rho_2 = \frac{0.0012 \cdot 1000}{(0.0117 + 0.0012) - \frac{0.064}{9.8} - 1000 \cdot \frac{0.0117}{7800}}\] \[\rho_2 = \frac{1.2}{0.0129 - 0.00653 - 0.0015}\] \[\rho_2 = \frac{1.2}{0.00487} \approx 246 \text{ кг/м³}\]

Округлим до 200 кг/м³

Ответ: 200 кг/м³