Кривая CD задана уравнением $$y = \frac{7}{16}x^2 + 2$$. Для какой точки P, лежащей на кривой CD, площадь прямоугольника PMNQ, изображенного на рисунке, будет иметь наибольшее значение? В ответе укажите сумму координат точки P, округлив её до сотых.

Решение:

Площадь прямоугольника PMNQ равна произведению его сторон PM и MN. Пусть точка P имеет координаты \( (x, y) \). Тогда точка M имеет координаты \( (x, 0) \), а точка N имеет координаты \( (x_N, 0) \). Из рисунка видно, что координата \( x_N \) равна 2. Следовательно, ширина прямоугольника MN равна \( |x - 2| \). Высота прямоугольника PM равна \( y \).

Поскольку точка P лежит на кривой \( y = \frac{7}{16}x^2 + 2 \) и согласно рисунку \( x \ge 0 \), то \( y = \frac{7}{16}x^2 + 2 \). Также из рисунка видно, что \( x \le 2 \).

Площадь прямоугольника \( S \) выражается формулой: \( S = PM \cdot MN = y \cdot |x - 2| \).

Учитывая, что \( y = \frac{7}{16}x^2 + 2 \) и \( 0 \le x \le 2 \), получаем:

\[ S(x) = \left( \frac{7}{16}x^2 + 2 \right) (2 - x) \]

Раскроем скобки:

\[ S(x) = 2 \cdot \frac{7}{16}x^2 - \frac{7}{16}x^3 + 4 - 2x \]

\[ S(x) = \frac{7}{8}x^2 - \frac{7}{16}x^3 + 4 - 2x \]

Найдем производную площади по \( x \), чтобы найти точки экстремума:

\[ S'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{7}{8}x^2 - \frac{7}{16}x^3 + 4 - 2x \right) \]

\[ S'(x) = \frac{7}{8}(2x) - \frac{7}{16}(3x^2) - 2 \]

\[ S'(x) = \frac{7}{4}x - \frac{21}{16}x^2 - 2 \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ \frac{7}{4}x - \frac{21}{16}x^2 - 2 = 0 \]

Умножим всё на 16, чтобы избавиться от дробей:

\[ 28x - 21x^2 - 32 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ 21x^2 - 28x + 32 = 0 \]

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

\[ D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 21 \cdot 32 = 784 - 2688 = -1904 \]

Так как дискриминант отрицательный (\( D < 0 \)), квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что производная \( S'(x) \) не обращается в ноль на интервале \( [0, 2] \).

Рассмотрим поведение функции \( S(x) \) на концах интервала \( [0, 2] \).

При \( x = 0 \): \( S(0) = (\frac{7}{16} \cdot 0^2 + 2)(2 - 0) = 2 \cdot 2 = 4 \).

При \( x = 2 \): \( S(2) = (\frac{7}{16} \cdot 2^2 + 2)(2 - 2) = (\frac{7}{16} \cdot 4 + 2)(0) = (\frac{7}{4} + 2)(0) = 0 \).

Проверим знак производной на интервале \( [0, 2] \). Возьмем, например, \( x=1 \):

\[ S'(1) = \frac{7}{4}(1) - \frac{21}{16}(1)^2 - 2 = \frac{7}{4} - \frac{21}{16} - 2 = \frac{28 - 21 - 32}{16} = \frac{7 - 32}{16} = \frac{-25}{16} \]

Так как \( S'(x) < 0 \) на интервале \( (0, 2) \), функция \( S(x) \) убывает на этом интервале. Следовательно, наибольшее значение достигается на левой границе интервала, то есть при \( x = 0 \).

Координаты точки P при \( x = 0 \):

\( x = 0 \)

\[ y = \frac{7}{16}(0)^2 + 2 = 2 \]

Таким образом, точка P имеет координаты \( (0, 2) \).

Найдем сумму координат точки P:

\[ 0 + 2 = 2 \]

Сумма координат равна 2,00.

Ответ: 2,00