Космический корабль, движущийся по круговой орбите вокруг Земли с постоянной по модулю скоростью, перешёл на другую круговую орбиту, меньшего радиуса. Как изменились в результате этого перехода модуль скорости корабля и период его обращения вокруг Земли? Для каждой величины определите соответствующий характер изменения: 1) увеличилась 2) уменьшилась 3) не изменилась Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Решение:

Для космического корабля, движущегося по круговой орбите вокруг Земли, сила гравитационного притяжения является центростремительной силой. \( F_{грав} = F_{центр} \).

\( G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r} \), где \( G \) — гравитационная постоянная, \( M \) — масса Земли, \( m \) — масса корабля, \( r \) — радиус орбиты, \( v \) — скорость корабля.

Из этого уравнения можно выразить скорость: \( v^2 = \frac{G M}{r} \), следовательно, \( v = sqrt{\frac{G M}{r}} \).

Так как радиус орбиты \( r \) уменьшился, а \( G M \) — константы, то скорость \( v \) увеличилась.

Период обращения \( T \) связан со скоростью и радиусом: \( v = \frac{2 pi r}{T} \). Отсюда \( T = \frac{2 pi r}{v} \).

Подставим выражение для \( v \): \( T = \frac{2 pi r}{ sqrt{\frac{G M}{r}}} = 2 pi r sqrt{\frac{r}{G M}} = \frac{2 pi}{ sqrt{G M}} r^{3/2} \).

Так как \( r^{3/2} \) увеличивается с ростом \( r \), то при уменьшении \( r \) период \( T \) уменьшился.

Ответ: 12.