КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант А2 1 В треугольнике АВС ∠A = 120°, ∠C = 30°. а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный, и укажите его боковые стороны. б) Отрезок СК — биссектрисы данного треугольника. Найдите углы, которые она образует со стороной АВ.

Решение:

1. а) Доказательство равнобедренности треугольника:
   • Сумма углов в треугольнике равна 180°.
   • Найдем угол B: \( \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 120° - 30° = 30° \).
   • Так как \( \angle B = \angle C = 30° \), то треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC.
   • Боковые стороны равнобедренного треугольника — это стороны, противолежащие равным углам. В данном случае это стороны AB и BC.

   Вывод: Треугольник ABC — равнобедренный, его боковые стороны — AB и BC.

2. б) Нахождение углов, образуемых биссектрисой СК со стороной AB:
   • СК — биссектриса угла C. Биссектриса делит угол пополам.
   • \( \angle ACK = \angle KCB = \angle C / 2 = 30° / 2 = 15° \).
   • Рассмотрим треугольник BKC. Сумма углов в нем равна 180°.
   • \( \angle BKC = 180° - \angle B - \angle KCB = 180° - 30° - 15° = 135° \).
   • Угол AKC и угол BKC — смежные, их сумма равна 180°.
   • \( \angle AKC = 180° - \angle BKC = 180° - 135° = 45° \).
   • Угол, который биссектриса СК образует со стороной AB, — это угол AKC.

   Ответ:

   • а) Треугольник ABC — равнобедренный, боковые стороны AB и BC.
   • б) Биссектриса СК образует со стороной AB угол 45°.