Контрольная работа «Векторы и координаты векторов в пространстве». (по учебнику Атанасяна 11 класс). 1 вариант. 1. Найдите длину вектора ⃗ =4⃗ −3⃗ . 2. Найдите длину вектора 2⃗ −⃗ , если ⃗(−4; 1; 5), ⃗(3; −5;−1), 3. Выясните, при каких значениях з и , вектора ⃗[3;;4] и ⃗[; 1; −8] - коллинеарны. 4. Найдите координаты точки В, если А(0;3;-4); K(1;-4;4), а точка К-середина АВ. 5. Найдите угол между векторами ⃗(−1, 3, 2) и ⃗(4, 5, 0), 6. Вершины треугольника АВС имеют координаты А (2; -3;-1), B (-3; -1; 2), C (1; -2; 5). Определите вид этого треугольника. 2 вариант. 1. Найдите длину ⃗ =2⃗ −4⃗ +⃗ . 2. Найдите длину вектора 2⃗+3⃗, если ⃗(2; 0;−3), ⃗(5; −1; 2), 3. Выясните, при каких значениях д и в, вектора ⃗(1;; −3) и ⃗(2;−8; ) коллинеарны 4. Найдите координаты точки А, если М(3;-2;1); С(-1;2;2), а точка М-середина АС. 5. Найти угол между векторами ⃗(2;−1;3)и ⃗(0, 2, 3). 6. Вершины треугольника MNP имеют координаты М (-4;-2;-1), N (4; -3; 3), P (5; -1; -2). Определите вид этого треугольника. 3 вариант, 1. Найдите длину вектора ⃗ =⃗ +2⃗ −2⃗ . 2. Найдите длину вектора ⃗−2⃗, если ⃗(2;−1, 3), ⃗(0, 1; −2), 3. Выясните, при каких значениях в и , вектора ⃗(−3; 6;) и ⃗(2;;−1) - коллинеарны. 4. Найдите координаты точки А, если К(1;-2;2); В(-1;4;1), а точка К-середина АВ. 5. Найдите угол между векторами ⃗(3, 1; −2) и ⃗(2, 3, 0). Вершины треугольника RTK имеют координаты R (-2; -4; -1), Т (3;-2; 4), K (-4; -3; 6). Определите вид этого треугольника. 4 вариант. 1. Найдите длину ⃗ =3⃗ −4⃗ .

Ответ:

Привет! На фото у тебя контрольная работа по векторам в пространстве. Разберем основные моменты и решим задачки.

1 вариант.

1. Найдите длину вектора ⃗ =4⃗ −3⃗.

   Краткое пояснение: Длина вектора находится как квадратный корень из суммы квадратов его координат.

   Решение:

   Длина вектора |⃗| = √(0² + (−3)² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

   Ответ: 5

2. Найдите длину вектора 2⃗ −⃗ , если ⃗(−4; 1; 5), ⃗(3; −5;−1).

   Краткое пояснение: Сначала найдем вектор 2⃗ −⃗ , а затем его длину.

   Решение:

   • Умножаем вектор ⃗ на 2: 2⃗ = (−8; 2; 10)
   • Вычитаем вектор ⃗: 2⃗ −⃗ = (−8−3; 2−(−5); 10−(−1)) = (−11; 7; 11)
   • Находим длину вектора: |2⃗ −⃗| = √((−11)² + 7² + 11²) = √(121 + 49 + 121) = √291

   Ответ: √291

3. Выясните, при каких значениях и , вектора ⃗[3;;4] и ⃗[; 1; −8] - коллинеарны.

   Краткое пояснение: Коллинеарные векторы пропорциональны.

   Решение:

   Для коллинеарных векторов выполняется условие: ⃗ = ⋅⃗. Тогда:

   • 3 = ⋅
   • = ⋅1 =
   • 4 = ⋅(−8)

   Из третьего уравнения находим : = −0.5

   Тогда = −0.5 и = −6

   Ответ: s = -0.5, t = -6

4. Найдите координаты точки В, если А(0;3;-4); K(1;-4;4), а точка К-середина АВ.

   Краткое пояснение: Координаты середины отрезка равны полусумме координат концов.

   Решение:

   Пусть координаты точки B (;;). Тогда координаты середины K:

   • ₖ = (ᴀ + ʙ)/2
   • ₖ = (ᴀ + ʙ)/2
   • ₖ = (ᴀ + ʙ)/2

   Выражаем координаты точки B:

   • = 2ₖ − ᴀ = 2⋅1 − 0 = 2
   • = 2ₖ − ᴀ = 2⋅(−4) − 3 = −11
   • = 2ₖ − ᴀ = 2⋅4 − (−4) = 12

   Ответ: B(2; -11; 12)

5. Найдите угол между векторами ⃗(−1, 3, 2) и ⃗(4, 5, 0).

   Краткое пояснение: Угол между векторами находится через скалярное произведение.

   Решение:

   cos() = (⃗⋅⃗) / (|⃗|⋅|⃗|)

   • ⃗⋅⃗ = (−1)⋅4 + 3⋅5 + 2⋅0 = −4 + 15 + 0 = 11
   • |⃗| = √((−1)² + 3² + 2²) = √(1 + 9 + 4) = √14
   • |⃗| = √(4² + 5² + 0²) = √(16 + 25) = √41

   cos() = 11 / (√14 ⋅ √41) = 11 / √574

   = arccos(11 / √574) ≈ 62.7°

   Ответ: arccos(11 / √574) ≈ 62.7°

6. Вершины треугольника АВС имеют координаты А (2; -3;-1), B (-3; -1; 2), C (1; -2; 5). Определите вид этого треугольника.

   Краткое пояснение: Определим длины сторон и проверим, не является ли треугольник прямоугольным.

   Решение:

   • AB = √((−3−2)² + (−1−(−3))² + (2−(−1))²) = √(25 + 4 + 9) = √38
   • BC = √((1−(−3))² + (−2−(−1))² + (5−2)²) = √(16 + 1 + 9) = √26
   • AC = √((1−2)² + (−2−(−3))² + (5−(−1))²) = √(1 + 1 + 36) = √38

   Так как AB = AC, треугольник равнобедренный.

   Проверим, не является ли он прямоугольным:

   AB² + BC² = 38 + 26 = 64

   AC² = 38

   Треугольник не является прямоугольным.

   Ответ: Равнобедренный

2 вариант.

1. Найдите длину ⃗ =2⃗ −4⃗ +⃗.

   Краткое пояснение: Длина вектора находится как квадратный корень из суммы квадратов его координат.

   Решение:

   |⃗| = √(2² + 1² + (−4)²) = √(4 + 1 + 16) = √21

   Ответ: √21

2. Найдите длину вектора 2⃗+3⃗, если ⃗(2; 0;−3), ⃗(5; −1; 2).

   Краткое пояснение: Сначала найдем вектор 2⃗+3⃗ , а затем его длину.

   Решение:

   • Умножаем вектор ⃗ на 2: 2⃗ = (4; 0; −6)
   • Умножаем вектор ⃗ на 3: 3⃗ = (15; −3; 6)
   • Складываем векторы: 2⃗ + 3⃗ = (4+15; 0+(−3); −6+6) = (19; −3; 0)
   • Находим длину вектора: |2⃗ + 3⃗| = √(19² + (−3)² + 0²) = √(361 + 9) = √370

   Ответ: √370

3. Выясните, при каких значениях и , вектора ⃗(1;; −3) и ⃗(2;−8; ) коллинеарны

   Краткое пояснение: Коллинеарные векторы пропорциональны.

   Решение:

   Для коллинеарных векторов выполняется условие: ⃗ = ⋅⃗. Тогда:

   • 1 = ⋅2
   • = ⋅(−8)
   • −3 = ⋅

   Из первого уравнения находим : = 0.5

   Тогда = −4 и = −6

   Ответ: g = -4, s = -6

4. Найдите координаты точки А, если М(3;-2;1); С(-1;2;2), а точка М-середина АС.

   Краткое пояснение: Координаты середины отрезка равны полусумме координат концов.

   Решение:

   Пусть координаты точки A (;;). Тогда координаты середины M:

   • ₘ = (ᴀ + ᴄ)/2
   • ₘ = (ᴀ + ᴄ)/2
   • ₘ = (ᴀ + ᴄ)/2

   Выражаем координаты точки A:

   • = 2ₘ − ᴄ = 2⋅3 − (−1) = 7
   • = 2ₘ − ᴄ = 2⋅(−2) − 2 = −6
   • = 2ₘ − ᴄ = 2⋅1 − 2 = 0

   Ответ: A(7; -6; 0)

5. Найти угол между векторами ⃗(2;−1;3) и ⃗(0, 2, 3).

   Краткое пояснение: Угол между векторами находится через скалярное произведение.

   Решение:

   cos() = (⃗⋅⃗) / (|⃗|⋅|⃗|)

   • ⃗⋅⃗ = 2⋅0 + (−1)⋅2 + 3⋅3 = 0 − 2 + 9 = 7
   • |⃗| = √(2² + (−1)² + 3²) = √(4 + 1 + 9) = √14
   • |⃗| = √(0² + 2² + 3²) = √(0 + 4 + 9) = √13

   cos() = 7 / (√14 ⋅ √13) = 7 / √182

   = arccos(7 / √182) ≈ 59.9°

   Ответ: arccos(7 / √182) ≈ 59.9°

6. Вершины треугольника MNP имеют координаты М (-4;-2;-1), N (4; -3; 3), P (5; -1; -2). Определите вид этого треугольника.

   Краткое пояснение: Определим длины сторон и проверим, не является ли треугольник прямоугольным.

   Решение:

   • MN = √((4−(−4))² + (−3−(−2))² + (3−(−1))²) = √(64 + 1 + 16) = √81 = 9
   • NP = √((5−4)² + (−1−(−3))² + (−2−3)²) = √(1 + 4 + 25) = √30
   • MP = √((5−(−4))² + (−1−(−2))² + (−2−(−1))²) = √(81 + 1 + 1) = √83

   Так как все стороны имеют разную длину, треугольник разносторонний.

   Проверим, не является ли он прямоугольным:

   MN² + NP² = 81 + 30 = 111

   MP² = 83

   Треугольник не является прямоугольным.

   Ответ: Разносторонний

3 вариант.

1. Найдите длину вектора ⃗ =⃗ +2⃗ −2⃗.

   Краткое пояснение: Длина вектора находится как квадратный корень из суммы квадратов его координат.

   Решение:

   |⃗| = √(1² + (−2)² + 2²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3

   Ответ: 3

2. Найдите длину вектора ⃗−2⃗, если ⃗(2;−1, 3), ⃗(0, 1; −2).

   Краткое пояснение: Сначала найдем вектор ⃗−2⃗ , а затем его длину.

   Решение:

   • Умножаем вектор ⃗ на 2: 2⃗ = (0; 2; −4)
   • Вычитаем вектор 2⃗ из ⃗: ⃗ − 2⃗ = (2−0; −1−2; 3−(−4)) = (2; −3; 7)
   • Находим длину вектора: |⃗ − 2⃗| = √(2² + (−3)² + 7²) = √(4 + 9 + 49) = √62

   Ответ: √62

3. Выясните, при каких значениях и , вектора ⃗(−3; 6;) и ⃗(2;;−1) - коллинеарны.

   Краткое пояснение: Коллинеарные векторы пропорциональны.

   Решение:

   Для коллинеарных векторов выполняется условие: ⃗ = ⋅⃗. Тогда:

   • −3 = ⋅2
   • 6 = ⋅
   • = ⋅(−1)

   Из первого уравнения находим : = −1.5

   Тогда = −4 и = 1.5

   Ответ: t = -4, s = 1.5

4. Найдите координаты точки А, если К(1;-2;2); В(-1;4;1), а точка К-середина АВ.

   Краткое пояснение: Координаты середины отрезка равны полусумме координат концов.

   Решение:

   Пусть координаты точки A (;;). Тогда координаты середины K:

   • ₖ = (ᴀ + ʙ)/2
   • ₖ = (ᴀ + ʙ)/2
   • ₖ = (ᴀ + ʙ)/2

   Выражаем координаты точки A:

   • = 2ₖ − ʙ = 2⋅1 − (−1) = 3
   • = 2ₖ − ʙ = 2⋅(−2) − 4 = −8
   • = 2ₖ − ʙ = 2⋅2 − 1 = 3

   Ответ: A(3; -8; 3)

5. Найдите угол между векторами ⃗(3, 1; −2) и ⃗(2, 3, 0).

   Краткое пояснение: Угол между векторами находится через скалярное произведение.

   Решение:

   cos() = (⃗⋅⃗) / (|⃗|⋅|⃗|)

   • ⃗⋅⃗ = 3⋅2 + 1⋅3 + (−2)⋅0 = 6 + 3 + 0 = 9
   • |⃗| = √(3² + 1² + (−2)²) = √(9 + 1 + 4) = √14
   • |⃗| = √(2² + 3² + 0²) = √(4 + 9) = √13

   cos() = 9 / (√14 ⋅ √13) = 9 / √182

   = arccos(9 / √182) ≈ 48.7°

   Ответ: arccos(9 / √182) ≈ 48.7°

6. Вершины треугольника RTK имеют координаты R (-2; -4; -1), Т (3;-2; 4), K (-4; -3; 6). Определите вид этого треугольника.

   Краткое пояснение: Определим длины сторон и проверим, не является ли треугольник прямоугольным.

   Решение:

   • RT = √((3−(−2))² + (−2−(−4))² + (4−(−1))²) = √(25 + 4 + 25) = √54
   • TK = √((−4−3)² + (−3−(−2))² + (6−4)²) = √(49 + 1 + 4) = √54
   • RK = √((−4−(−2))² + (−3−(−4))² + (6−(−1))²) = √(4 + 1 + 49) = √54

   Так как все стороны имеют одинаковую длину, треугольник равносторонний.

   Ответ: Равносторонний

4 вариант.

1. Найдите длину ⃗ =3⃗ −4⃗.

   Краткое пояснение: Длина вектора находится как квадратный корень из суммы квадратов его координат.

   Решение:

   |⃗| = √(3² + (−4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5

   Ответ: 5