Контрольная работа №5 «Прямоугольный треугольник» 1 вариант 1. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, образует с одним из катетов угол 55°. Найдите острые углы этого треугольника. 2. В прямоугольном треугольнике СОК угол C равен 30°, угол О равен 90°. Найдите гипотенузу СК этого треугольника, если катет ОК равен 6 см. 3. В треугольнике ABC: ZC = 60°, ∠B = 90°. Высота ВВ₁ равна 2 см. Найти АВ. 4. В остроугольном треугольнике MNP биссектриса угла М пересекает высоту NK в точке О, причем ОК = 9 см. Найти расстояние от точки О до прямой М. 5. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найти гипотенузу треугольника. 6. В треугольнике ABC ∠A = 90°, ∠B = 60°. На стороне АС отмечена точка D так, что ∠DBC = 30°, DA = 4 см. Найти АС и расстояние от точки D до стороны ВС.

Ответ:

1. Задача 1:

   Дано: Прямоугольный треугольник, высота образует угол 55° с катетом.

   Найти: Острые углы треугольника.

   Решение:

   • Пусть данный прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°. Высота, опущенная из C, образует угол 55° с катетом AC.
   • Тогда угол между высотой и катетом BC равен 90° - 55° = 35°.
   • Угол A = 90° - 35° = 55°.
   • Угол B = 90° - 55° = 35°.

   Ответ: Острые углы треугольника: 55° и 35°.

2. Задача 2:

   Дано: Прямоугольный треугольник COK, угол C = 30°, угол O = 90°, OK = 6 см.

   Найти: Гипотенузу CK.

   Решение:

   • В прямоугольном треугольнике COK, sin(C) = OK / CK.
   • sin(30°) = 1/2.
   • 1/2 = 6 / CK.
   • CK = 6 / (1/2) = 12 см.

   Ответ: Гипотенуза CK = 12 см.

3. Задача 3:

   Дано: Треугольник ABC, угол C = 60°, угол B = 90°, BB₁ = 2 см (высота).

   Найти: AB.

   Решение:

   • В прямоугольном треугольнике ABC угол A = 180° - 90° - 60° = 30°.
   • Рассмотрим треугольник ABB₁. sin(A) = BB₁ / AB.
   • sin(30°) = 1/2.
   • 1/2 = 2 / AB.
   • AB = 2 / (1/2) = 4 см.

   Ответ: AB = 4 см.

4. Задача 4:

   Дано: Остроугольный треугольник MNP, OK = 9 см.

   Найти: Расстояние от точки O до прямой MN.

   Решение:

   Недостаточно данных для решения задачи. Требуется дополнительная информация о треугольнике MNP и расположении точки O.

   Ответ: Невозможно решить без дополнительных данных.

5. Задача 5:

   Дано: Прямоугольный треугольник, один из углов 60°, сумма гипотенузы и меньшего катета 42 см.

   Найти: Гипотенузу треугольника.

   Решение:

   • Пусть гипотенуза = c, меньший катет = a.
   • c + a = 42.
   • Так как один из углов 60°, то другой острый угол 30°.
   • a = c * sin(30°) = c / 2.
   • c + c/2 = 42.
   • (3/2)c = 42.
   • c = 42 * (2/3) = 28 см.

   Ответ: Гипотенуза треугольника = 28 см.

6. Задача 6:

   Дано: Треугольник ABC, угол A = 90°, угол B = 60°, угол DBC = 30°, DA = 4 см.

   Найти: AC и расстояние от точки D до стороны BC.

   Решение:

   • Угол C = 180° - 90° - 60° = 30°.
   • В треугольнике ABD: угол ABD = 60° - 30° = 30°.
   • Треугольник ABD - равнобедренный (AD = BD = 4 см).
   • В треугольнике ABC: AC = AB * tg(60°).
   • AB = AD + DB = 4 + 4 = 8 см.
   • AC = 8 * tg(60°) = 8√3 см.
   • Расстояние от D до BC = BD * sin(30°) = 4 * (1/2) = 2 см.

   Ответ: AC = 8√3 см, расстояние от точки D до стороны BC = 2 см.

Ответ: