Контрольная работа «Производная функции» Вариант 2 1. Найти производную функции (Каждый пример оценивается в 1 балл) a) y = x² + 4x3 + 3x в)у = √x(5x-3) -3x 6) y = 7√x + 0,5 cos 6x - 3ctgx г)у = х²+2 2. Найти значение производной функции f(x) = -4x² +3х в точке хо=0. (1 балл) 3. Найти интервалы возрастания и убывания функции f(x) = 2x³-3x²+х(1 балл) изменяется по закону 4. Объём лёгких при дыхании V(t)=2sin(0.5t)+3 л, где 1 — время в секундах. Найдите скорость изменения объёма лёгких через 4 секунды после начала наблюдения. (1 балл) 5. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции у = -3 sin 5x + 2 в точке с абсциссой хо=. (1 балл) (1 балл) 0-3 балла «2», 4-5 баллов «3», 6-7 баллов – «4», 8 баллов - «5

Ответ: Решение ниже

1. Найти производную функции

a) \( y = \frac{5}{7}x^4 + 4x^3 + \frac{2}{3x} \)

\( y' = \frac{5}{7} \cdot 4x^3 + 4 \cdot 3x^2 + \frac{2}{3} \cdot (-1)x^{-2} \)

\( y' = \frac{20}{7}x^3 + 12x^2 - \frac{2}{3x^2} \)

б) \( y = 7\sqrt{x} + 0.5\cos(6x) - 3\cot(x) \)

\( y' = 7 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + 0.5 \cdot (-\sin(6x)) \cdot 6 - 3 \cdot (-\csc^2(x)) \)

\( y' = \frac{7}{2\sqrt{x}} - 3\sin(6x) + 3\csc^2(x) \)

в) \( y = \sqrt{x}(5x - 3) \)

\( y = 5x^{3/2} - 3x^{1/2} \)

\( y' = 5 \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} - 3 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} \)

\( y' = \frac{15}{2}\sqrt{x} - \frac{3}{2\sqrt{x}} \)

г) \( y = \frac{-3x}{x^2 + 2} \)

\( y' = \frac{(-3)(x^2 + 2) - (-3x)(2x)}{(x^2 + 2)^2} \)

\( y' = \frac{-3x^2 - 6 + 6x^2}{(x^2 + 2)^2} \)

\( y' = \frac{3x^2 - 6}{(x^2 + 2)^2} \)

2. Найти значение производной функции \( f(x) = -4x^2 + 3x \) в точке \( x_0 = 0 \)

\( f'(x) = -8x + 3 \)

\( f'(0) = -8(0) + 3 = 3 \)

3. Найти интервалы возрастания и убывания функции \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x \)

\( f'(x) = 6x^2 - 6x + 1 \)

Решим уравнение \( 6x^2 - 6x + 1 = 0 \) для нахождения критических точек:

\( x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(6)(1)}}{2(6)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{12} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{12} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{12} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{6} \)

\( x_1 = \frac{3 - \sqrt{3}}{6} \approx 0.211, \quad x_2 = \frac{3 + \sqrt{3}}{6} \approx 0.789 \)

Интервалы:

• \( x < \frac{3 - \sqrt{3}}{6} \): \( f'(x) > 0 \) (возрастает)
• \( \frac{3 - \sqrt{3}}{6} < x < \frac{3 + \sqrt{3}}{6} \): \( f'(x) < 0 \) (убывает)
• \( x > \frac{3 + \sqrt{3}}{6} \): \( f'(x) > 0 \) (возрастает)

4. Объём лёгких при дыхании \( V(t) = 2\sin(0.5t) + 3 \) л. Найти скорость изменения объёма лёгких через 4 секунды

\( V'(t) = 2 \cdot \cos(0.5t) \cdot 0.5 = \cos(0.5t) \)

\( V'(4) = \cos(0.5 \cdot 4) = \cos(2) \approx -0.416 \) л/с

5. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции \( y = -3\sin(5x) + 2 \) в точке с абсциссой \( x_0 = \frac{\pi}{6} \)

\( y' = -3\cos(5x) \cdot 5 = -15\cos(5x) \)

\( y'(\frac{\pi}{6}) = -15\cos(5 \cdot \frac{\pi}{6}) = -15\cos(\frac{5\pi}{6}) = -15 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{15\sqrt{3}}{2} \)

Ответ:

1. a) \( y' = \frac{20}{7}x^3 + 12x^2 - \frac{2}{3x^2} \)

б) \( y' = \frac{7}{2\sqrt{x}} - 3\sin(6x) + 3\csc^2(x) \)

в) \( y' = \frac{15}{2}\sqrt{x} - \frac{3}{2\sqrt{x}} \)

г) \( y' = \frac{3x^2 - 6}{(x^2 + 2)^2} \)

2. \( f'(0) = 3 \)

3. Возрастает при \( x < \frac{3 - \sqrt{3}}{6} \) и \( x > \frac{3 + \sqrt{3}}{6} \), убывает при \( \frac{3 - \sqrt{3}}{6} < x < \frac{3 + \sqrt{3}}{6} \)

4. \( V'(4) \approx -0.416 \) л/с

5. \( y'(\frac{\pi}{6}) = \frac{15\sqrt{3}}{2} \)

Ответ: Решение выше