Контрольная работа по теме «Теорема Пифагора. Площадь» Вариант 2. 1. Выберите верные утверждения: 1) Если катеты прямоугольного треугольника равны 13 и 35, то его гипотенуза равна 37. 2) Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон. 3) Площадь квадрата равна произведению его диагоналей. 4) Площадь трапеции равна произведению полусумме оснований на высоту. B ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов. 2. Вычислите площадь фигуры, изображенной на рисунке: 1) 2) 3) B Ия 29 74 ENFLY 24 25 C A 70 36 3. Основания трапеции равны 18 и 6 см, боковая сторона, равная 14 см, образует с одним из оснований трапеции угол 150°. Найдите площадь трапеции. 4. В параллелограмме ABCD высота ВН делит сторону AD на отрезки АН = 8 см и HD = 14 см. Найдите площадь параллелограмма, если сторона АВ равна 17 см. 5. В треугольнике MNP MN = 14 см, МР = 13 см, NP = 15 см. Найти площадь треугольника MNP и высоту РК, проведенную к стороне MN.

1. Выберите верные утверждения:

Проверим каждое утверждение:

• 1) Если катеты прямоугольного треугольника равны 13 и 35, то его гипотенуза равна 37. Проверим по теореме Пифагора: \[13^2 + 35^2 = 169 + 1225 = 1394\] Гипотенуза равна \[\sqrt{1394} \approx 37.34\]. Утверждение неверно.
• 2) Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон. Это верное утверждение.
• 3) Площадь квадрата равна произведению его диагоналей. Неверно. Площадь квадрата равна половине произведения квадрата диагонали, либо половине произведения диагоналей.
• 4) Площадь трапеции равна произведению полусумме оснований на высоту. Это верное утверждение.

Ответ: 24

2. Вычислите площадь фигуры, изображенной на рисунке:

1. Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание. Высота равна 3, основание равно 4. Площадь равна 3 * 4 = 12.
2. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Катеты равны 3 и 4. Площадь равна (3 * 4) / 2 = 6.
3. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту. Высота равна 24, основания равны 70 и 36. Площадь равна ((70 + 36) / 2) * 24 = (106 / 2) * 24 = 53 * 24 = 1272.

3. Основания трапеции равны 18 и 6 см, боковая сторона, равная 14 см, образует с одним из оснований трапеции угол 150°. Найдите площадь трапеции.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°. Значит, второй угол равен 180° - 150° = 30°.

Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой 14 и углом 30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, то есть высоте трапеции. Высота трапеции равна 14 / 2 = 7 см.

Разность оснований равна 18 - 6 = 12 см. Второй катет прямоугольного треугольника равен \( \sqrt{14^2 - 7^2} = \sqrt{196 - 49} = \sqrt{147} = 7\sqrt{3} \) см.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: \( S = \frac{18 + 6}{2} \cdot 7 = \frac{24}{2} \cdot 7 = 12 \cdot 7 = 84 \) см².

Ответ: 84 см²

4. В параллелограмме ABCD высота ВН делит сторону AD на отрезки АН = 8 см и HD = 14 см. Найдите площадь параллелограмма, если сторона АВ равна 17 см.

Основание AD = AH + HD = 8 + 14 = 22 см.

Высоту BH найдем из прямоугольного треугольника ABH по теореме Пифагора: \[BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\]

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту: \[S = AD \cdot BH = 22 \cdot 15 = 330\]

Ответ: 330 см²

5. В треугольнике MNP MN = 14 см, МР = 13 см, NP = 15 см. Найти площадь треугольника MNP и высоту РК, проведенную к стороне MN.

Используем формулу Герона для нахождения площади треугольника: \[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\], где p - полупериметр, a, b, c - стороны треугольника.

Полупериметр равен \[p = \frac{14 + 13 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21\]

Площадь треугольника равна \[S = \sqrt{21(21-14)(21-13)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{7^2 \cdot 3^2 \cdot 4^2 \cdot 2^2} = 7 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 2 = 168\]

Площадь треугольника равна 168 см².

Высоту PK найдем из формулы площади треугольника: \[S = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot PK\]

Отсюда \[PK = \frac{2S}{MN} = \frac{2 \cdot 168}{14} = \frac{336}{14} = 24\]

Высота PK равна 24 см.

Ответ: Площадь треугольника 168 см², высота PK равна 24 см.