Контрольная работа по теме «Формулы сокращенного умножения» (7 класс) Вариант 2. 1. Преобразуйте в многочлен: a) (3a + 4)²; б) (2x-b)²; в) (b+3)(b3); г) (бу 2х)(5y + 2x). 2. Упростите выражение (с + b)(cb) - (5c²-b²). 3. Разложите на множители: a) 25y2a²; б) с²+4bc +462. 4. Решите уравнение 12-(4-x)² = x(3 - x). 5. Вычислите: a) 2322 2312; 6) 1482214848482; 813 313 B) 812 +81.31 + 312 6. Запишите в виде многочлена стандартного вида выражение: a) (c9)(c3)-6c(3c-2); б) 4a(a-5) (a-10)²; в) (6+2)² - 126. 7. Разложите на множители многочлен: a) 7x³-28x; б) 5a²-10ab+56²; в) х³-8. 8. Упростить выражение (x²-2x)²(x-2)(x+2)(x²-4)-4x(7x-x²). 9. Решите уравнение (4х + 1)²(4x+3)(4x-3) = 6x2. 10. Докажите, что выражение 4х24ху + 2у2 может принимать только неотрицательные значения.

Ответ: Сейчас решим все эти задания!

1. Преобразуйте в многочлен:

• a) (3a + 4)²: \[(3a + 4)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 4 + 4^2 = 9a^2 + 24a + 16\]
• б) (2x - b)²: \[(2x - b)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot b + b^2 = 4x^2 - 4xb + b^2\]
• в) (b + 3)(b - 3): \[(b + 3)(b - 3) = b^2 - 3^2 = b^2 - 9\]
• г) (5y - 2x)(5y + 2x): \[(5y - 2x)(5y + 2x) = (5y)^2 - (2x)^2 = 25y^2 - 4x^2\]

2. Упростите выражение:

\[(c + b)(c - b) - (5c^2 - b^2) = c^2 - b^2 - 5c^2 + b^2 = -4c^2\]

3. Разложите на множители:

• a) 25y² - a²: \[25y^2 - a^2 = (5y - a)(5y + a)\]
• б) c² + 4bc + 4b²: \[c^2 + 4bc + 4b^2 = c^2 + 2 \cdot c \cdot 2b + (2b)^2 = (c + 2b)^2\]

4. Решите уравнение:

\[12 - (4 - x)^2 = x(3 - x)\] \[12 - (16 - 8x + x^2) = 3x - x^2\] \[12 - 16 + 8x - x^2 = 3x - x^2\] \[-4 + 8x = 3x\] \[5x = 4\] \[x = \frac{4}{5} = 0.8\]

5. Вычислите:

• a) 232² - 231²: \[232^2 - 231^2 = (232 - 231)(232 + 231) = 1 \cdot 463 = 463\]
• б) 148² - 2 ⋅ 148 ⋅ 48 + 48²: \[148^2 - 2 \cdot 148 \cdot 48 + 48^2 = (148 - 48)^2 = 100^2 = 10000\]
• в) \(\frac{81^3 - 31^3}{81^2 + 81 \cdot 31 + 31^2}\): \[\frac{81^3 - 31^3}{81^2 + 81 \cdot 31 + 31^2} = \frac{(81 - 31)(81^2 + 81 \cdot 31 + 31^2)}{81^2 + 81 \cdot 31 + 31^2} = 81 - 31 = 50\]

6. Запишите в виде многочлена стандартного вида выражение:

• a) (c - 9)(c - 3) - 6c(3c - 2): \[(c - 9)(c - 3) - 6c(3c - 2) = c^2 - 3c - 9c + 27 - 18c^2 + 12c = -17c^2 - 12c + 27\]
• б) 4a(a - 5) - (a - 10)²: \[4a(a - 5) - (a - 10)^2 = 4a^2 - 20a - (a^2 - 20a + 100) = 4a^2 - 20a - a^2 + 20a - 100 = 3a^2 - 100\]
• в) (b + 2)² - 12b: \[(b + 2)^2 - 12b = b^2 + 4b + 4 - 12b = b^2 - 8b + 4\]

7. Разложите на множители многочлен:

• a) 7x³ - 28x: \[7x^3 - 28x = 7x(x^2 - 4) = 7x(x - 2)(x + 2)\]
• б) 5a² - 10ab + 5b²: \[5a^2 - 10ab + 5b^2 = 5(a^2 - 2ab + b^2) = 5(a - b)^2\]
• в) x³ - 8: \[x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)\]

8. Упростить выражение:

\[(x^2 - 2x)^2 - (x - 2)(x + 2)(x^2 - 4) - 4x(7x - x^2) = (x^4 - 4x^3 + 4x^2) - (x^2 - 4)(x^2 - 4) - 28x^2 + 4x^3 = x^4 - 4x^3 + 4x^2 - (x^4 - 8x^2 + 16) - 28x^2 + 4x^3 = x^4 - 4x^3 + 4x^2 - x^4 + 8x^2 - 16 - 28x^2 + 4x^3 = -16x^2 - 16\]

9. Решите уравнение:

\[(4x + 1)^2 - (4x + 3)(4x - 3) = 6x - 2\] \[16x^2 + 8x + 1 - (16x^2 - 9) = 6x - 2\] \[16x^2 + 8x + 1 - 16x^2 + 9 = 6x - 2\] \[8x + 10 = 6x - 2\] \[2x = -12\] \[x = -6\]

10. Докажите, что выражение \(4x^2 - 4xy + 2y^2\) может принимать только неотрицательные значения.

\[4x^2 - 4xy + 2y^2 = 4x^2 - 4xy + y^2 + y^2 = (2x - y)^2 + y^2\]

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то \[(2x - y)^2 \ge 0\] и \[y^2 \ge 0\]

Следовательно, \[(2x - y)^2 + y^2 \ge 0\] для любых x и y.

Ответ: Ура, все задания решены!