Контрольная работа по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» Вариант 3 1. Дана арифметическая прогрессия: - 6; - 4; ... а) Найдите её двенадцатый член: б) Найдите сумму её первых пяттнадцати членов. 2. В геометрической прогрессии с положительными членами b3 = 2, b5 = 8. Найдите сумму пяти первых членов этой прогрессии. 3. Арифметическая прогрессия задана условиями ат Найдите аз. = 7, An+1 = An-2. 4. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: ...; x; 15; - 45; Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х. 5. Является ли число -106 членом арифметической прогресии, первый член которой 27, а пятый член 11? Если да, то определите номер этого члена.

1. Арифметическая прогрессия

Дана арифметическая прогрессия: -6; -4; ...

а) Найдите её двенадцатый член:

б) Найдите сумму её первых пятнадцати членов.

Разбираемся:

1. Находим разность арифметической прогрессии:

   \[d = a_2 - a_1 = -4 - (-6) = 2\]

2. а) Находим двенадцатый член:

   \[a_n = a_1 + (n-1)d\]

   \[a_{12} = -6 + (12-1) \cdot 2 = -6 + 11 \cdot 2 = -6 + 22 = 16\]

3. б) Находим сумму первых пятнадцати членов:

   \[S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n\]

   \[S_{15} = \frac{2 \cdot (-6) + (15-1) \cdot 2}{2} \cdot 15 = \frac{-12 + 14 \cdot 2}{2} \cdot 15 = \frac{-12 + 28}{2} \cdot 15 = \frac{16}{2} \cdot 15 = 8 \cdot 15 = 120\]

Ответ: а) 12-й член = 16, б) Сумма 15 членов = 120

2. Геометрическая прогрессия

В геометрической прогрессии с положительными членами b\[_3\] = 2, b\[_5\] = 8.

Найдите сумму пяти первых членов этой прогрессии.

Разбираемся:

1. Находим знаменатель геометрической прогрессии:

   \[b_5 = b_3 \cdot q^2\]

   \[8 = 2 \cdot q^2\]

   \[q^2 = 4\]

   Так как члены положительные, то q = 2.

2. Находим первый член геометрической прогрессии:

   \[b_3 = b_1 \cdot q^2\]

   \[2 = b_1 \cdot 2^2\]

   \[b_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5\]

3. Находим сумму пяти первых членов прогрессии:

   \[S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}\]

   \[S_5 = \frac{0.5(2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{0.5(32 - 1)}{1} = 0.5 \cdot 31 = 15.5\]

Ответ: Сумма пяти первых членов = 15.5

3. Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия задана условиями a\[_1\] = 7, a\[_{n+1}\] = a\[_n\] - 2.

Найдите a\[_3\].

Разбираемся:

1. Находим второй член:

   \[a_2 = a_1 - 2 = 7 - 2 = 5\]

2. Находим третий член:

   \[a_3 = a_2 - 2 = 5 - 2 = 3\]

Ответ: a\[_3\] = 3

4. Геометрическая прогрессия

Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: ...; x; 15; -45; ....

Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.

Разбираемся:

1. Находим знаменатель прогрессии:

   \[q = \frac{a_3}{a_2} = \frac{-45}{15} = -3\]

2. Находим член x:

   \[a_2 = \frac{a_3}{q} = \frac{15}{-3} = -5\]

Ответ: x = -5

5. Арифметическая прогрессия

Является ли число -106 членом арифметической прогрессии, первый член которой 27, а пятый член 11? Если да, то определите номер этого члена.

Разбираемся:

1. Находим разность прогрессии:

   \[a_5 = a_1 + 4d\]

   \[11 = 27 + 4d\]

   \[4d = -16\]

   \[d = -4\]

2. Находим n, при котором a\[_n\] = -106:

   \[a_n = a_1 + (n-1)d\]

   \[-106 = 27 + (n-1)(-4)\]

   \[-106 = 27 - 4n + 4\]

   \[-106 = 31 - 4n +4\]

   \[4n = 137\]

   \[n = \frac{137}{4} = 34.25\]

3. Так как n не является целым числом, то число -106 не является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: Число -106 не является членом данной арифметической прогрессии.