Контрольные задания > Контрольная работа по теме «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники» Фи Некрашевич Ангелинн. 1 Сформулируйте теорему о центральном угле 2 Окр (O,R). Найдите величины углов согласно рисунку A B C 82 гр. 3 ZABD = 36°, ZADB = 63°. Найдите ∠ACD. B A C D 4 ABCD – прямоугольная трапеция, радиус равен 11. Найти среднюю линию трапеции B A R 33 D 5 Окр (O,R), CD (касательная) = 8, СО (секущая) = 15. Вычислите, чему равен радиус 6 AB = 21 см, BC = 19 см, CD = 14 см. Найдите сторону AD B C A D hatber Вариант 2
Вопрос:

Контрольная работа по теме «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники» Фи Некрашевич Ангелинн. 1 Сформулируйте теорему о центральном угле 2 Окр (O,R). Найдите величины углов согласно рисунку A B C 82 гр. 3 ZABD = 36°, ZADB = 63°. Найдите ∠ACD. B A C D 4 ABCD – прямоугольная трапеция, радиус равен 11. Найти среднюю линию трапеции B A R 33 D 5 Окр (O,R), CD (касательная) = 8, СО (секущая) = 15. Вычислите, чему равен радиус 6 AB = 21 см, BC = 19 см, CD = 14 см. Найдите сторону AD B C A D hatber Вариант 2

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение:

  1. Теорема о центральном угле: Центральный угол, опирающийся на дугу окружности, равен половине градусной меры этой дуги.
  2. Углы в окружности:
    • Угол ∠AOC является центральным и опирается на дугу AC.
    • Поскольку ∠ABC = 82°, то дуга AC равна 2 * 82° = 164°.
    • Следовательно, центральный угол ∠AOC = 164°.
    • Угол ∠AOC также является развернутым углом, если точки A, O, C лежат на одной прямой. В данном случае, судя по рисунку, ∠AOC - острый угол.
    • Если 82° - это вписанный угол, опирающийся на дугу AC, то дуга AC = 2 * 82° = 164°. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен 164°.
    • Если 82° - это центральный угол, то он равен 82°.
    • Предполагая, что 82° - это вписанный угол ∠ABC, опирающийся на дугу AC: Дуга AC = 2 * 82° = 164°. Тогда центральный угол ∠AOC = 164°.
    • Предполагая, что 82° - это угол ∠AOC: Тогда центральный угол равен 82°.
    • Исходя из рисунка, угол 82° обозначен как угол, который является частью центрального угла ∠AOC. Возможно, это угол ∠AOC, опирающийся на дугу, которая не обозначена. Или это угол, относящийся к другому вписанному углу. Без дополнительных обозначений на рисунке, точное определение углов затруднительно.
    • Если предположить, что 82° - это вписанный угол, опирающийся на дугу BC: Тогда дуга BC = 2 * 82° = 164°. Центральный угол ∠BOC = 164°.
    • Если предположить, что 82° - это центральный угол ∠BOC: Тогда ∠BOC = 82°.
    • Предположим, что 82° - это угол ∠AOB (центральный угол): Тогда ∠AOB = 82°.
    • Предположим, что 82° - это вписанный угол, опирающийся на дугу AB: Тогда дуга AB = 2 * 82° = 164°. Центральный угол ∠AOB = 164°.
    • Наиболее вероятное толкование рисунка: 82° - это вписанный угол, опирающийся на дугу AC. Тогда центральный угол ∠AOC = 2 * 82° = 164°.
  3. Нахождение ∠ACD:
    • В треугольнике ABD: ∠ADB = 63°, ∠ABD = 36°.
    • Сумма углов в треугольнике равна 180°.
    • ∠BAD = 180° - ∠ABD - ∠ADB = 180° - 36° - 63° = 180° - 99° = 81°.
    • ABCD - вписанный четырехугольник, так как все его вершины лежат на окружности.
    • В вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
    • ∠BCD = 180° - ∠BAD = 180° - 81° = 99°.
    • ∠ABC + ∠ADC = 180°.
    • ∠ADC = 180° - ∠ABC (если ∠ABC был бы дан).
    • Мы ищем ∠ACD. Мы знаем ∠BCD = 99°.
    • ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD.
    • Углы ∠BAC и ∠BDC опираются на одну дугу BC.
    • Углы ∠CAD и ∠CBD опираются на одну дугу CD.
    • Углы ∠ACB и ∠ADB опираются на одну дугу AB.
    • ∠ACB = ∠ADB = 63°.
    • Так как ∠BCD = 99° и ∠ACB = 63°, то ∠ACD = ∠BCD - ∠ACB = 99° - 63° = 36°.
  4. Средняя линия трапеции:
    • ABCD - прямоугольная трапеция.
    • Радиус окружности равен 11.
    • В прямоугольной трапеции, вписанной в окружность, боковые стороны, не являющиеся основаниями, являются диаметрами, если трапеция равнобедренная. В данном случае, если трапеция прямоугольная, то один из углов равен 90°.
    • Если окружность вписана в трапецию, то сумма противоположных сторон равна.
    • Если окружность описана около трапеции, то ее центр лежит на середине средней линии, перпендикулярной основаниям.
    • В прямоугольной трапеции, вписанной в окружность, больший угол между боковой стороной и основанием равен 90°.
    • Если трапеция прямоугольная, то одно из оснований или боковая сторона является диаметром, если углы у основания 90°.
    • Если радиус равен 11, то диаметр равен 22.
    • Если одно из оснований является диаметром, то оно равно 22.
    • Если боковая сторона (не перпендикулярная основаниям) является диаметром, то она равна 22.
    • Предполагаем, что боковая сторона AD является диаметром окружности (так как угол ∠A = 90°). Тогда AD = 2 * 11 = 22.
    • Предполагаем, что BC является диаметром окружности (так как угол ∠B = 90°). Тогда BC = 2 * 11 = 22.
    • Если предположить, что окружность вписана в трапецию, а не описана. Тогда радиус вписанной окружности в трапеции связан с высотой. Высота прямоугольной трапеции равна диаметру вписанной окружности. Значит, высота h = 2 * 11 = 22.
    • Если радиус равен 11, и это описанная окружность, и трапеция прямоугольная:
      • Угол B = 90°, угол A = 90°.
      • Сторона AB является высотой.
      • Если AB - высота, то она перпендикулярна основаниям AD и BC.
      • Если AB - высота, то диаметр окружности равен диагонали трапеции.
      • Диагональ AC = BD = 2 * 11 = 22.
      • В прямоугольном треугольнике ABC (угол B = 90°): AC^2 = AB^2 + BC^2.
      • 22^2 = AB^2 + BC^2.
      • В прямоугольном треугольнике ABD (угол A = 90°): BD^2 = AB^2 + AD^2.
      • 22^2 = AB^2 + AD^2.
      • Из этого следует, что BC = AD. Следовательно, трапеция равнобедренная, что противоречит условию «прямоугольная трапеция», если только AB не равно 0.
      • Другое толкование: в прямоугольной трапеции, вписанной в окружность, одна из боковых сторон (перпендикулярная основаниям) должна быть диаметром. Это невозможно, так как она бы проходила через центр и перпендикулярно основаниям.
      • Возможно, изображенная трапеция не ABCD, а другая, и радиус 11 относится к ней.
      • Если предположить, что BC - это меньшее основание, AD - большее, а AB - высота, и центр окружности находится на середине AD.
        • Тогда AD = 2 * R = 22.
        • Средняя линия = (BC + AD) / 2.
        • Нужно найти BC.
        • Из рисунка видно, что у трапеции угол D = 90°. Это делает ее не трапецией, а прямоугольником.
        • Если предположить, что CD - боковая сторона, а AB и CD - основания, а AD и BC - боковые стороны.
        • Вернемся к предположению, что AD - диаметр. AD = 22.
        • Если 33 - это угол при основании D.
        • Если 33 - это значение стороны CD.
        • Если 33 - это угол при вершине D.
        • Если 33 - это значение среднего арифметического оснований.
        • Если 33 - это значение средней линии.
    • При условии, что 33 - это средняя линия трапеции: Средняя линия = 33.
    • Если окружность вписана в трапецию: Высота равна диаметру. h = 2R = 22. Средняя линия = (a+b)/2. Для вписанной окружности a+b = c+d. Для прямоугольной трапеции: a+b = h + c. (a, b - основания, h - высота, c - боковая сторона).
    • Если окружность описана около прямоугольной трапеции: Тогда одно из оснований или боковая сторона, не перпендикулярная основаниям, является диаметром. Если AB - высота, то Диагональ = 2R = 22.
    • Исходя из рисунка, где R обозначен как радиус, и есть угол 33:
      • Если 33 - это угол, то это не может быть средняя линия.
      • Если 33 - это длина стороны, то это может быть одна из сторон.
      • Наиболее логичное предположение: 33 - это средняя линия.
  5. Нахождение радиуса:
    • CD - касательная, CD = 8.
    • CO - секущая, CO = 15.
    • O - центр окружности.
    • Пусть R - радиус окружности.
    • OD - радиус, OD = R.
    • По теореме о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности: квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей.
    • CD^2 = CE * CO, где E - точка пересечения секущей с окружностью.
    • CE = CO - OE = 15 - R (если O между C и E, что невозможно, т.к. CO - секущая).
    • CE = CO - 2R (если секущая проходит через центр).
    • Точка E находится на окружности, ближе к C. CO = 15, CD = 8.
    • По свойству касательной и секущей: CD^2 = (CO - R) * CO. Это неверно.
    • Правильная формула: квадрат касательной равен произведению внешней части секущей на всю секущую.
    • Пусть секущая CO пересекает окружность в точках P и Q, где P ближе к C. Тогда CQ = CO = 15. CP = CO - PQ = 15 - 2R (если секущая проходит через центр).
    • CD^2 = CP * CQ.
    • 8^2 = CP * 15.
    • 64 = CP * 15.
    • CP = 64 / 15.
    • CP - это внешняя часть секущей.
    • CO = 15.
    • CD = 8.
    • По теореме о касательной и секущей: $$CD^2 = CO imes (CO - 2R)$$ если точка O вне окружности.
    • В данном случае, O - центр окружности. C - точка вне окружности. CD - касательная. CO - секущая.
    • Пусть секущая CO пересекает окружность в точках A и B, где A ближе к C. Тогда CB = 15.
    • CD^2 = CA * CB.
    • 8^2 = CA * 15.
    • 64 = CA * 15.
    • CA = 64/15.
    • CB = CA + AB. AB - хорда.
    • Другой вариант: O - центр. CD - касательная. CO = 15. CD = 8. OD = R.
    • В прямоугольном треугольнике ODC (где OD перпендикулярна CD): OC^2 = OD^2 + CD^2.
    • 15^2 = R^2 + 8^2.
    • 225 = R^2 + 64.
    • R^2 = 225 - 64 = 161.
    • R = √161.
    • Это не соответствует условию, что CD - касательная, а CO - секущая.
    • Правильное применение теоремы о касательной и секущей: Точка C снаружи окружности. CD - касательная. CO - секущая, проходящая через центр O. CO = 15. CD = 8.
    • Пусть секущая CO пересекает окружность в точках A и B, где A ближе к C.
    • CD^2 = CA * CO. (Это если CO - не через центр).
    • Если CO - секущая, проходящая через центр O:
      • Пусть секущая пересекает окружность в точках P и Q, где P ближе к C.
      • CP = CO - R = 15 - R.
      • CQ = CO + R = 15 + R.
      • CD^2 = CP * CQ.
      • 8^2 = (15 - R) * (15 + R).
      • 64 = 15^2 - R^2.
      • 64 = 225 - R^2.
      • R^2 = 225 - 64 = 161.
      • R = √161.
    • Если O - центр, CD = 8 (касательная), CO = 15 (секущая).
      • OD - радиус R.
      • OD перпендикулярна CD.
      • В прямоугольном треугольнике ODC: OC^2 = OD^2 + CD^2.
      • 15^2 = R^2 + 8^2.
      • 225 = R^2 + 64.
      • R^2 = 161.
      • R = √161.
      • Это означает, что точка O находится вне окружности, если CD - касательная. Но O - центр.
      • Возможно, CO - это расстояние от C до О, а секущая имеет другую длину.
      • Вернемся к теореме о касательной и секущей: CD^2 = CA * CB.
      • Если CO = 15 - это длина всей секущей до точки C, а не до центра.
      • Если C - точка, из которой проведены касательная CD=8 и секущая, которая пересекает окружность в двух точках, и расстояние от C до дальней точки = 15.
        • CD^2 = CA * CB.
        • 8^2 = CA * 15.
        • 64 = CA * 15.
        • CA = 64/15.
        • CB = 15.
        • AB = CB - CA = 15 - 64/15 = (225 - 64) / 15 = 161/15.
        • AB - это хорда.
        • Если секущая CO проходит через центр O:
          • Расстояние от C до ближайшей точки окружности (A) = CA.
          • Расстояние от C до дальней точки окружности (B) = CB.
          • CB = CA + AB.
          • CD^2 = CA * CB.
          • 8^2 = CA * CB = 64.
          • CO = 15.
          • Если O - центр, и секущая проходит через O:
            • CA = CO - R = 15 - R.
            • CB = CO + R = 15 + R.
            • (15 - R)(15 + R) = 8^2.
            • 225 - R^2 = 64.
            • R^2 = 161.
            • R = √161.
    • Если 15 - это расстояние от C до центра O, и CD = 8 - касательная. OD - радиус. OD перпендикулярна CD. В прямоугольном треугольнике ODC: OC^2 = OD^2 + CD^2. 15^2 = R^2 + 8^2. 225 = R^2 + 64. R^2 = 161. R = √161.
    • Перечитываем условие: Окр (O,R), CD (касательная) = 8, СО (секущая) = 15. Вычислите, чему равен радиус.
      • CO - это расстояние от точки C до центра окружности O.
      • CD - длина касательной, проведенной из C к окружности.
      • OD - радиус, OD = R. OD перпендикулярна CD.
      • Рассматриваем прямоугольный треугольник ODC.
      • По теореме Пифагора: OC^2 = OD^2 + CD^2.
      • 15^2 = R^2 + 8^2.
      • 225 = R^2 + 64.
      • R^2 = 225 - 64 = 161.
      • R = √161.
  6. Нахождение стороны AD:
    • AB = 21 см, BC = 19 см, CD = 14 см.
    • ABCD - четырехугольник.
    • Судя по рисунку, ABCD - вписанный четырехугольник (квадрат).
    • Если ABCD - квадрат, то все стороны равны, что не соответствует условию (21, 19, 14).
    • Если ABCD - прямоугольник, то AB = CD и BC = AD. 21 != 14, 19 != AD.
    • Если ABCD - трапеция, то AB || CD или BC || AD.
    • Если ABCD - вписанная трапеция, то она равнобедренная. AB = CD или BC = AD.
    • 21 != 14, 19 != AD.
    • Предполагаем, что ABCD - равнобедренная трапеция, где BC и AD - основания, а AB и CD - боковые стороны.
      • Тогда AB = CD. Но 21 ≠ 14.
      • Предполагаем, что AB и CD - основания, BC и AD - боковые стороны.
      • Тогда BC = AD. BC = 19, значит AD = 19.
    • Если ABCD - произвольный четырехугольник, вписанный в окружность.
      • AB = 21, BC = 19, CD = 14. Найти AD.
      • Для вписанного четырехугольника выполняются условия теоремы Птолемея: AC * BD = AB * CD + BC * AD.
      • Неизвестны диагонали AC и BD.
      • Судя по рисунку, ABCD - квадрат. Это противоречит условиям.
      • Возможно, ABCD - трапеция, вписанная в окружность. Такая трапеция равнобедренная.
      • Если AB и CD - основания, то AD = BC = 19.
      • Если BC и AD - основания, то AB = CD. Но 21 ≠ 14.
      • Предполагая, что ABCD - трапеция с основаниями AB и CD.
        • AB = 21, CD = 14.
        • BC = 19, AD = ?.
        • Так как трапеция вписанная, она равнобедренная.
        • Значит, боковые стороны равны: BC = AD.
        • Следовательно, AD = 19 см.

Ответ:

  • 1. Теорема о центральном угле: Центральный угол, опирающийся на дугу окружности, равен половине градусной меры этой дуги.
  • 2. Угол ∠AOC = 164° (при условии, что 82° - вписанный угол ∠ABC).
  • 3. ∠ACD = 36°.
  • 4. Средняя линия трапеции = 33 (если предположить, что 33 - это средняя линия).
  • 5. Радиус R = √161.
  • 6. AD = 19 см (при условии, что ABCD - равнобедренная трапеция с основаниями AB и CD).
ГДЗ по фото 📸