Контрольная работа по теме: «Углы и расстояния» 1 вариант. 1. В прямоугольном параллелепипеде измерения равны 6; 8 и 10. Найти диагональ параллелепипеда и угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания. 2. Дана плоскость а. Из точки А проведены к ней две наклонные АВ = 20 см и АС = 15 см. Проекция первой наклонной на эту плоскость равна 16 см. Найдите проекцию второй наклонной. 3. Из точки М проведен перпендикуляр МД, равный 6 см, к плоскости квадрата АВСД. Наклонная МВ образует с плоскостью квадрата угол 60°. а) Докажите, что треугольники МАВ и МСВ прямоугольные. б) Найдите сторону квадрата. 4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDABCD₁ сторона основания АВ = 6 см, высота АА₁ = 9 см, а диагональ А₁С = 15см. Найти угол между диагональной плоскостью АСС₁А₁ и боковой гранью А1В1BA. Контрольная работа по теме: «Углы и расстояния» 2 вариант. 1. В прямоугольном параллелепипеде измерения равны 5;7 и √47. Найти диагональ параллелепипеда и синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания. 2. Из точки А проведены к плоскости а наклонная АВ = 9 см и перпендикуляр АО = 6 см. Найдите проекцию этого перпендикуляра на данную наклонную. 3. Из точки М проведен перпендикуляр МД, равный 4 см, к плоскости прямоугольника АВСД. Наклонные МА и МС образует с плоскостью прямоугольника углы 45° и 30° соответственно. а) Докажите, что треугольники МАД и МСД прямоугольные. б) Найдите стороны прямоугольника. 4. Через центр О квадрата ABCD проведен перпендикуляр OF к плоскости квадрата. Вычислите угол между плоскостями BCF и ABCD, если FB = 5 дм, ВС = 6 дм.

Ответ: 1 вариант

1. 1 Вариант. Задача 1.

   В прямоугольном параллелепипеде измерения равны 6, 8 и 10. Найти диагональ параллелепипеда и угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

   • Диагональ параллелепипеда:

   Диагональ d прямоугольного параллелепипеда с измерениями a, b, c находится по формуле: d = \( \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \)

   В нашем случае a = 6, b = 8, c = 10, следовательно: d = \( \sqrt{6^2 + 8^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 64 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \)

   • Угол между диагональю и плоскостью основания:

   Пусть угол между диагональю и плоскостью основания равен \( \alpha \). Тогда \( sin(\alpha) = \frac{c}{d} \), где c - высота параллелепипеда.

   В нашем случае \( sin(\alpha) = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

   Следовательно, \( \alpha = 45^\circ \)

2. 1 Вариант. Задача 2.

   Дана плоскость α. Из точки A проведены к ней две наклонные AB = 20 см и AC = 15 см. Проекция первой наклонной на эту плоскость равна 16 см. Найти проекцию второй наклонной.

   • Обозначим проекции наклонных как \( AB' \) и \( AC' \), где \( AB' = 16 \) см.
   • Перпендикуляр, опущенный из A на плоскость, обозначим как AO. Тогда треугольники \( AOB \) и \( AOC \) прямоугольные.
   • Из треугольника \( AOB \): \( AO^2 = AB^2 - OB'^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144 \), следовательно, AO = 12 см.
   • Из треугольника \( AOC \): \( AC'^2 = AC^2 - AO^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81 \), следовательно, AC' = 9 см.

3. 1 Вариант. Задача 3.

   Из точки M проведен перпендикуляр MD, равный 6 см, к плоскости квадрата ABCD. Наклонная MB образует с плоскостью квадрата угол 60°.

   а) Докажите, что треугольники MAB и MCB прямоугольные.

   б) Найдите сторону квадрата.

   • Доказательство (а):

   Т.к. MD перпендикулярна плоскости квадрата, то MD перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку D.

   Значит, углы MDA, MDC, MDB - прямые.

   Если MB образует с плоскостью квадрата угол 60°, то угол MBD = 60°.

   Треугольник MBD прямоугольный, значит \( BD = \frac{MD}{tg(60^\circ)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \)

   Треугольники MAD и MCD прямоугольные и равны (MD - общий катет, AD = CD как стороны квадрата).

   Значит, MA = MC. Треугольники MAB и MCB также прямоугольные (т.к. углы MAD и MCD прямые).

   • Сторона квадрата (б):

   BD - диагональ квадрата, \( BD = a\sqrt{2} \), где a - сторона квадрата.

   Тогда \( a = \frac{BD}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{6} \)

4. 1 Вариант. Задача 4.

   В прямоугольном параллелепипеде ABCDABCD₁ сторона основания AB = 6 см, высота AA₁ = 9 см, а диагональ A₁C = 15см. Найти угол между диагональной плоскостью ACC₁A₁ и боковой гранью A₁B₁BA.

   • Угол между диагональной плоскостью ACC₁A₁ и боковой гранью A₁B₁BA - это угол между перпендикуляром из точки C на прямую A₁C₁ (пусть это точка H) и прямой CH.
   • В прямоугольном треугольнике AA₁C: \( AC^2 + AA_1^2 = A_1C^2 \) \( AC^2 + 9^2 = 15^2 \) \( AC^2 = 225 - 81 = 144 \) \( AC = 12 \)
   Показать дальнейшее решение

   • Так как ABCD - прямоугольник, то \( BC = AD \). Используем теорему Пифагора для треугольника ABC: \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \) \( 6^2 + BC^2 = 12^2 \) \( BC^2 = 144 - 36 = 108 \) \( BC = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \)
   • Тогда тангенс искомого угла \( \varphi \) равен отношению AA₁ к BC: \( tg(\varphi) = \frac{AA_1}{BC} = \frac{9}{6\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
   • Значит, \( \varphi = arctg(\frac{\sqrt{3}}{2}) \)

Ответ: 1 вариант

Ответ: 2 вариант

1. 2 Вариант. Задача 1.

   В прямоугольном параллелепипеде измерения равны 5, 7 и √47. Найти диагональ параллелепипеда и синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

   • Диагональ параллелепипеда:

   Диагональ d прямоугольного параллелепипеда с измерениями a, b, c находится по формуле: d = \( \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \)

   В нашем случае a = 5, b = 7, c = \( \sqrt{47} \), следовательно: d = \( \sqrt{5^2 + 7^2 + (\sqrt{47})^2} = \sqrt{25 + 49 + 47} = \sqrt{121} = 11 \)

   • Синус угла между диагональю и плоскостью основания:

   Пусть угол между диагональю и плоскостью основания равен \( \alpha \). Тогда \( sin(\alpha) = \frac{c}{d} \), где c - высота параллелепипеда.

   В нашем случае \( sin(\alpha) = \frac{\sqrt{47}}{11} \)

2. 2 Вариант. Задача 2.

   Из точки A проведены к плоскости α наклонная AB = 9 см и перпендикуляр AO = 6 см. Найдите проекцию этого перпендикуляра на данную наклонную.

   • Нам нужно найти проекцию AO на AB. Обозначим эту проекцию как \( AO' \).
   • В прямоугольном треугольнике AOB (O - точка на плоскости α): \( OB = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{9^2 - 6^2} = \sqrt{81 - 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \) см.
   • \( AO' = AO \cdot cos(\angle OAB) \), где \( cos(\angle OAB) = \frac{AO}{AB} \)
   • Тогда \( AO' = \frac{AO^2}{AB} = \frac{6^2}{9} = \frac{36}{9} = 4 \) см.

3. 2 Вариант. Задача 3.

   Из точки M проведен перпендикуляр MD, равный 4 см, к плоскости прямоугольника ABCD. Наклонные MA и MC образует с плоскостью прямоугольника углы 45° и 30° соответственно.

   а) Докажите, что треугольники MAD и MCD прямоугольные.

   б) Найдите стороны прямоугольника.

   • Доказательство (а):

   Т.к. MD перпендикулярна плоскости прямоугольника, то MD перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку D.

   Значит, углы MDA и MDC - прямые.

   Следовательно, треугольники MAD и MCD прямоугольные.

   • Стороны прямоугольника (б):

   Если MA образует с плоскостью угол 45°, то угол MAD = 45°.

   Если MC образует с плоскостью угол 30°, то угол MCD = 30°.

   В прямоугольном треугольнике MAD: \( AD = \frac{MD}{tg(45^\circ)} = \frac{4}{1} = 4 \)

   В прямоугольном треугольнике MCD: \( CD = \frac{MD}{tg(30^\circ)} = \frac{4}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 4\sqrt{3} \)

4. 2 Вариант. Задача 4.

   Через центр O квадрата ABCD проведен перпендикуляр OF к плоскости квадрата. Вычислите угол между плоскостями BCF и ABCD, если FB = 5 дм, BC = 6 дм.

   • Пусть угол между плоскостями BCF и ABCD равен \( \phi \).
   • Т.к. OF перпендикулярна плоскости ABCD, то OF перпендикулярна OC (где C - вершина квадрата).
   • OC - половина диагонали квадрата. Диагональ квадрата равна \( BC\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \), значит, \( OC = 3\sqrt{2} \) дм.
   • В прямоугольном треугольнике OFC: \( FC = \sqrt{FB^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61} \) дм.
   • Тогда \( tg(\phi) = \frac{OF}{OC} \)
   • Нам нужно найти OF. В прямоугольном треугольнике OFB: \( OF = \sqrt{FB^2 - OB^2} \)
   • OB = OC, т.к. O - центр квадрата. \( OF = \sqrt{5^2 - (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{25 - 18} = \sqrt{7} \) дм.
   • Следовательно, \( tg(\phi) = \frac{\sqrt{7}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{6} \)
   • Тогда \( \phi = arctg(\frac{\sqrt{14}}{6}) \)

Ответ: 2 вариант