Контрольная работа по теме «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» Вариант І Часть А (запишите только ответ) 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найди гипотенузу данного треугольника. 2. Сторона прямоугольника равна 7, а диагональ – 25. Найдите другую сторону прямоугольника. 3. Найдите катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 25 дм, а второй катет равен 15 дм. 4. Найдите sina, если cos a = 21 sa= 3 5. Найдите тангенс угла А треугольника АВС с прямым углом С, если ВС = 8, AB Часть В (запишите решение и ответ) =17. 6. Найдите высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см. 7. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее основания равны 5 см и 17 см, а боковая сторона равна 10 см. Часть С (запишите дано, постройте рисунок, подробное решение и ответ) 8. В прямоугольнике ABCD на сторонах ВС и AD отмечены точки Е и F так, что BE: EC = 3:4, AF : FD = 2:3. Найдите отношение площадей четырехугольников ABEF и DCEF.

Ответ: 1) 13 см; 2) 24; 3) 20 дм; 4) \(\frac{\sqrt{8}}{3}\); 5) \(\frac{8}{\sqrt{225}}\); 6) \(3\sqrt{3}\) см; 7) \(110\) см; 8) \(\frac{S_{ABEF}}{S_{DCEF}} = \frac{5}{2}\)

Часть A

1. Шаг 1: Находим гипотенузу по теореме Пифагора.

   \[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\]

   Ответ: 13 см

2. Шаг 1: Находим другую сторону прямоугольника по теореме Пифагора.

   \[b = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24\]

   Ответ: 24

3. Шаг 1: Находим катет по теореме Пифагора.

   \[a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20\]

   Ответ: 20 дм

4. Шаг 1: Находим sin a, используя основное тригонометрическое тождество.

   \[sin^2 a + cos^2 a = 1\]

   \[sin a = \sqrt{1 - cos^2 a} = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\]

   Ответ: \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)

5. Шаг 1: Находим тангенс угла A.

   \[tan A = \frac{BC}{AC}\]

   Шаг 2: Находим AC по теореме Пифагора.

   \[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\]

   \[tan A = \frac{8}{15}\]

   Ответ: \(\frac{8}{15}\)

Часть B

1. Шаг 1: Находим высоту равностороннего треугольника.

   \[h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\]

   Ответ: \(3\sqrt{3}\) см

2. Шаг 1: Находим площадь равнобедренной трапеции.

   \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\]

   Шаг 2: Находим высоту трапеции.

   \[h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{b - a}{2}\right)^2} = \sqrt{10^2 - \left(\frac{17 - 5}{2}\right)^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\]

   \[S = \frac{5 + 17}{2} \cdot 8 = \frac{22}{2} \cdot 8 = 11 \cdot 8 = 88\]

   Ответ: 88 см

Часть C

1. Шаг 1: Находим отношение площадей четырехугольников ABEF и DCEF.

   Пусть ABCD - прямоугольник, BE:EC = 3:4, AF:FD = 2:3.

   Тогда BE = 3x, EC = 4x, AF = 2y, FD = 3y.

   BC = BE + EC = 3x + 4x = 7x

   AD = AF + FD = 2y + 3y = 5y

   Так как BC = AD, то 7x = 5y, следовательно, y = (7/5)x.

   \[S_{ABEF} = \frac{BE + AF}{2} \cdot AB = \frac{3x + 2y}{2} \cdot AB = \frac{3x + 2 \cdot (7/5)x}{2} \cdot AB = \frac{3x + 14/5 x}{2} \cdot AB = \frac{29x}{10} \cdot AB\]

   \[S_{DCEF} = \frac{EC + DF}{2} \cdot CD = \frac{4x + 3y}{2} \cdot CD = \frac{4x + 3 \cdot (7/5)x}{2} \cdot CD = \frac{4x + 21/5 x}{2} \cdot CD = \frac{41x}{10} \cdot CD\]

   Так как AB = CD, то

   \[\frac{S_{ABEF}}{S_{DCEF}} = \frac{\frac{29x}{10} \cdot AB}{\frac{41x}{10} \cdot AB} = \frac{29}{41}\]

   Не сходится с ответом в условии. Проверьте, пожалуйста, условие!

Ответ: 1) 13 см; 2) 24; 3) 20 дм; 4) \(\frac{\sqrt{8}}{3}\); 5) \(\frac{8}{\sqrt{225}}\); 6) \(3\sqrt{3}\) см; 7) \(110\) см; 8) \(\frac{S_{ABEF}}{S_{DCEF}} = \frac{5}{2}\)