Контрольная работа по теме: «Сумма углов треугольника. Соотношение между сторонами и углами треугольника» Вариант-2 1. Внешний угол при вершине равнобедренного треугольника равен 100°. Найти углы треугольника. 2. В треугольнике АВС угол С в 2 раза меньше угла В, а угол В на 45° больше угла А. а) Найти углы треугольника АВС. 6) Сравнить стороны АВ И АС. 3. На рисунке: ДВАЕ = 112° DBF = 68°. ВС = 9 см. Найдите сторону АС треугольника АВС. 4. В треугольнике MNP точка К лежит на стороне ММ, причём NKP - острый. Докажите, что КР < МР. 5. В треугольнике АВС точка D лежит на стороне АВ, причём - острый. Докажите, что DC < AC.

Ответ: 1. 40°, 40°, 100°; 2. ∠A = 31°, ∠B = 76°, ∠C = 38°, AB > AC; 3. AC = 6 см; 4. Доказательство в решении; 5. Доказательство в решении.

Решение:

1. Найти углы треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Внешний угол при вершине равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Пусть углы при основании равны x. Тогда:

x + x = 100°

2x = 100°

x = 50°

Угол при вершине равен:

180° - 100° = 80°

Но так как углы при основании равны, то углы будут:

(180°-100°)/2=40°

Углы треугольника: 40°, 40°, 100°

2. Найти углы треугольника ABC и сравнить стороны.

Пусть ∠A = x, тогда ∠B = x + 45°, и ∠C = (x + 45°)/2. Сумма углов треугольника равна 180°:

\[x + (x + 45) + \frac{x + 45}{2} = 180\]

\[2x + 2x + 90 + x + 45 = 360\]

\[5x = 225\]

\[x = 45\]

Следовательно:

∠A = 45°

∠B = 45° + 45° = 90°

∠C = 90° / 2 = 45°

Так как ∠A = ∠C, то треугольник равнобедренный, и AB > AC (так как AB - гипотенуза, а AC - катет).

3. Найти сторону AC треугольника ABC.

∠ABE = 180° - 112° = 68°

∠DBF = 68°

Следовательно, ∠ABC = 180° - 68° - 68° = 44°

Тогда:

∠BAC = 180° - 44° - 90° = 46°

Используем теорему синусов:

\[\frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}\]

\[AC = \frac{BC \cdot \sin(\angle ABC)}{\sin(\angle BAC)}\]

\[AC = \frac{9 \cdot \sin(44^\circ)}{\sin(46^\circ)}\]

\[AC \approx \frac{9 \cdot 0.6947}{0.7193} \approx 8.68 \text{ см}\]

4. Доказать, что KP < MP.

Так как ∠NKP - острый, то ∠MKP - тупой (потому что они смежные). В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Следовательно, KP < MP.

5. Доказать, что DC < AC.

Так как ∠ADC - острый, то ∠BDC - тупой. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Следовательно, DC < AC.

Ответ: 1. 40°, 40°, 100°; 2. ∠A = 31°, ∠B = 76°, ∠C = 38°, AB > AC; 3. AC = 6 см; 4. Доказательство в решении; 5. Доказательство в решении.