Контрольная работа по теме «Степени и корни» Вариант 1 1. Вычислите a) 343-0,125 6) (0,2)5-85 2. Упростить выражение а) 2ав². 4а2в б) 3. Представить в виде степени с рациональным показателем 4. Упростить выражение, представив его в виде степени с основанием а a) 6) (a2.5)2. Va 5. Решить иррациональное уравнение: √x-1-x+3=0

Ответ: Решения ниже

1. Вычислите

а) \(\sqrt[3]{343} \cdot 0.125\)

Разбираемся:

• \(\sqrt[3]{343} = 7\), так как \(7^3 = 343\)
• \(0.125 = \frac{1}{8}\)

Следовательно:

\[7 \cdot \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 0.875\]

Ответ: 0.875

б) \(\sqrt[5]{(0.2)^5 \cdot 8^5}\)

Разбираемся:

Используем свойство корня: \(\sqrt[n]{a^n \cdot b^n} = a \cdot b\)

Тогда:

\[\sqrt[5]{(0.2)^5 \cdot 8^5} = 0.2 \cdot 8 = 1.6\]

Ответ: 1.6

2. Упростить выражение

а) \(\sqrt[3]{2ab^2} \cdot \sqrt[3]{4a^2b}\)

Разбираемся:

Используем свойство корней: \(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}\)

Тогда:

\[\sqrt[3]{2ab^2} \cdot \sqrt[3]{4a^2b} = \sqrt[3]{2ab^2 \cdot 4a^2b} = \sqrt[3]{8a^3b^3} = 2ab\]

Ответ: 2ab

б) \(\frac{\sqrt[5]{a^6b^7}}{\sqrt[5]{ab^2}}\)

Разбираемся:

Используем свойство корней: \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)

Тогда:

\[\frac{\sqrt[5]{a^6b^7}}{\sqrt[5]{ab^2}} = \sqrt[5]{\frac{a^6b^7}{ab^2}} = \sqrt[5]{a^5b^5} = ab\]

Ответ: ab

3. Представить в виде степени с рациональным показателем

а) \(b^2 \cdot b^\frac{1}{3} \cdot \sqrt[6]{b}\)

Разбираемся:

• \(\sqrt[6]{b} = b^\frac{1}{6}\)

Тогда:

\[b^2 \cdot b^\frac{1}{3} \cdot b^\frac{1}{6} = b^{2 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = b^{\frac{12}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6}} = b^{\frac{15}{6}} = b^{\frac{5}{2}}\]

Ответ: \(b^{\frac{5}{2}}\)

4. Упростить выражение, представив его в виде степени с основанием a

а) \(\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-0.5}}{a^3}\)

Разбираемся:

Используем свойства степеней: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) и \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)

Тогда:

\[\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-0.5}}{a^3} = \frac{a^{0.5 - 0.5}}{a^3} = \frac{a^0}{a^3} = a^{0-3} = a^{-3}\]

Ответ: \(a^{-3}\)

б) \((a^{2.5})^2 \cdot \sqrt{a}\)

Разбираемся:

Используем свойства степеней: \((a^m)^n = a^{mn}\) и \(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}\)

Тогда:

\[(a^{2.5})^2 \cdot \sqrt{a} = a^{2.5 \cdot 2} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^5 \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{5 + \frac{1}{2}} = a^{\frac{11}{2}}\]

Ответ: \(a^{\frac{11}{2}}\)

5. Решить иррациональное уравнение: \(\sqrt{x-1} - x + 3 = 0\)

Разбираемся:

Перенесем все, кроме корня, в правую часть:

\[\sqrt{x-1} = x - 3\]

Возведем обе части в квадрат:

\[x - 1 = (x - 3)^2\] \[x - 1 = x^2 - 6x + 9\]

Приведем к квадратному уравнению:

\[x^2 - 7x + 10 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант:

\[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9\]

Корни:

\[x_1 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{7 + 3}{2} = 5\] \[x_2 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2\]

Проверим корни:

Для \(x = 5\):

\[\sqrt{5 - 1} - 5 + 3 = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0\]

Для \(x = 2\):

\[\sqrt{2 - 1} - 2 + 3 = \sqrt{1} + 1 = 1 + 1 = 2
eq 0\]

Следовательно, \(x = 2\) не является корнем.

Ответ: x = 5

Ответ: Решения выше