Контрольная работа по теме «Степени и корни» Вариант 2 1. Вычислите a) √512.216 б) 114.34 2. Упростить выражение a) √3a² в³√27а2в б) √81а в 4 3 Зав 3. Представить в виде степени с рациональным показателем a) a1,7. a2,8. Va5 4. Упростить выражение, представив его в виде степени с основанием а 7 a-3.a3 3 a) б) Vaz (a4)2 a3 5. Решить иррациональное уравнение: 4√x + 1 = 2x + 2

1. Вычислите

а) \(\sqrt[3]{512 \cdot 216} = \sqrt[3]{512} \cdot \sqrt[3]{216} = 8 \cdot 6 = 48\) б) \(\sqrt[4]{11 \cdot 3^{4}} = 3\sqrt[4]{11}\)

2. Упростить выражение

a) \(\sqrt[4]{3a^2} \cdot \sqrt[3]{27a^2b} = (3a^2)^{\frac{1}{4}} \cdot (27a^2b)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{4}}a^{\frac{1}{2}} \cdot 27^{\frac{1}{3}}a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{4}}a^{\frac{1}{2}} \cdot 3a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{5}{4}}a^{\frac{7}{6}}b^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[6]{a^7} \cdot \sqrt[3]{b}\) б) \(\frac{\sqrt[3]{81a^4b}}{\sqrt[3]{3ab}} = \sqrt[3]{\frac{81a^4b}{3ab}} = \sqrt[3]{27a^3} = 3a\)

3. Представить в виде степени с рациональным показателем

a) \(a^{1.7} \cdot a^{2.8} \cdot \sqrt[5]{a^5} = a^{1.7} \cdot a^{2.8} \cdot a = a^{1.7 + 2.8 + 1} = a^{5.5}\)

4. Упростить выражение, представив его в виде степени с основанием a

a) \(\frac{a^{-3} \cdot a^3}{a^{\frac{7}{3}}} = \frac{a^{-3+3}}{a^{\frac{7}{3}}} = \frac{a^0}{a^{\frac{7}{3}}} = a^{-\frac{7}{3}} \) б) \(\sqrt[7]{a^2} \cdot (a^{\frac{1}{4}})^2 = a^{\frac{2}{7}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{7} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{11}{14}} \)

5. Решить иррациональное уравнение:

\(4\sqrt{x + 1} = 2x + 2\) Возведём обе части уравнения в квадрат: \(16(x + 1) = (2x + 2)^2\) \(16x + 16 = 4x^2 + 8x + 4\) \(4x^2 - 8x - 12 = 0\) Разделим обе части на 4: \(x^2 - 2x - 3 = 0\) Решим квадратное уравнение: \(x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}\) \(x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3\) \(x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1\) Проверим корни: Для \(x_1 = 3\): \(4\sqrt{3 + 1} = 2 \cdot 3 + 2\) \(4 \cdot 2 = 8\) \(8 = 8\) (верно) Для \(x_2 = -1\): \(4\sqrt{-1 + 1} = 2 \cdot (-1) + 2\) \(4 \cdot 0 = 0\) \(0 = 0\) (верно) Таким образом, оба корня подходят.