Контрольная работа по теме: «Решение квадратных уравнений» Вариант 2 1. Решите уравнение 6х2 + 18х = 0. 2. Решите уравнение 4х2 – 9 = 0. 3. Решите уравнение х² - 8х + 7 = 0. 4. Решите уравнение 3х2 + 5x + 6 = 0. 5. Один из корней уравнения х² + 11х + a = 0 равен 3. Найдите другой корень и коэффициент а. 6. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь - 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника

Ответ: 1. x = 0, x = -3; 2. x = 1.5, x = -1.5; 3. x = 7, x = 1; 4. нет решений; 5. x = -14, a = -42; 6. a = 3 см, b = 8 см.

1. Решите уравнение 6x² + 18x = 0

Вынесем общий множитель за скобки:

6x(x + 3) = 0

Тогда либо 6x = 0, либо x + 3 = 0

Решаем каждое уравнение:

• 6x = 0 => x = 0
• x + 3 = 0 => x = -3

Ответ: x = 0, x = -3

2. Решите уравнение 4x² – 9 = 0

Преобразуем уравнение к виду разности квадратов:

(2x)² - 3² = 0

Применим формулу разности квадратов:

(2x - 3)(2x + 3) = 0

Тогда либо 2x - 3 = 0, либо 2x + 3 = 0

Решаем каждое уравнение:

• 2x - 3 = 0 => 2x = 3 => x = 1.5
• 2x + 3 = 0 => 2x = -3 => x = -1.5

Ответ: x = 1.5, x = -1.5

3. Решите уравнение x² - 8x + 7 = 0

Найдем дискриминант D = b² - 4ac

D = (-8)² - 4 * 1 * 7 = 64 - 28 = 36

Т.к. D > 0, уравнение имеет два корня:

x1 = (-b + √D) / (2a) = (8 + √36) / 2 = (8 + 6) / 2 = 14 / 2 = 7

x2 = (-b - √D) / (2a) = (8 - √36) / 2 = (8 - 6) / 2 = 2 / 2 = 1

Ответ: x = 7, x = 1

4. Решите уравнение 3x² + 5x + 6 = 0

Найдем дискриминант D = b² - 4ac

D = 5² - 4 * 3 * 6 = 25 - 72 = -47

Т.к. D < 0, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет решений

5. Один из корней уравнения x² + 11x + a = 0 равен 3. Найдите другой корень и коэффициент a

Подставим известный корень x = 3 в уравнение:

3² + 11 * 3 + a = 0

9 + 33 + a = 0

42 + a = 0

a = -42

Теперь уравнение имеет вид:

x² + 11x - 42 = 0

По теореме Виета:

• x1 + x2 = -11
• x1 * x2 = -42

Известно, что x1 = 3, тогда:

3 + x2 = -11

x2 = -11 - 3 = -14

Ответ: x = -14, a = -42

6. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника

Пусть a и b - длины сторон прямоугольника. Тогда:

2(a + b) = 22

a * b = 24

Выразим a через b из первого уравнения:

a + b = 11

a = 11 - b

Подставим во второе уравнение:

(11 - b) * b = 24

11b - b² = 24

b² - 11b + 24 = 0

Найдем дискриминант D = b² - 4ac

D = (-11)² - 4 * 1 * 24 = 121 - 96 = 25

Т.к. D > 0, уравнение имеет два корня:

b1 = (11 + √25) / 2 = (11 + 5) / 2 = 16 / 2 = 8

b2 = (11 - √25) / 2 = (11 - 5) / 2 = 6 / 2 = 3

Тогда, если b = 8, то a = 11 - 8 = 3

Если b = 3, то a = 11 - 3 = 8

В любом случае, стороны прямоугольника 3 см и 8 см.

Ответ: a = 3 см, b = 8 см