Контрольная работа по теме «Применение подобия» 1. В прямоугольном треугольнике АВС угол А равен 90°, АВ=20 см, высота АН-12 см. Найдите катет АС и угол С. 2. Диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикулярна AD. Найдите площадь параллелограмма, если АВ=12 см, угол А равен 410.

Решение задачи 1

• Шаг 1: Находим BH

  В прямоугольном треугольнике ABC высота AH, проведенная к гипотенузе BC, делит его на два подобных треугольника. Также, высота AH является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу, то есть AH² = BH * HC. Но у нас нет HC, поэтому воспользуемся другим методом.

  Рассмотрим треугольник ABH, в котором AH = 12 см, AB = 20 см. По теореме Пифагора: \[AB^2 = AH^2 + BH^2\] \[20^2 = 12^2 + BH^2\] \[400 = 144 + BH^2\] \[BH^2 = 256\] \[BH = 16 \text{ см}\]

• Шаг 2: Находим BC

  Используем соотношение в прямоугольном треугольнике: AB² = BH * BC \[20^2 = 16 \cdot BC\] \[400 = 16 \cdot BC\] \[BC = 25 \text{ см}\]

• Шаг 3: Находим AC

  Теперь, зная BC и AB, можем найти AC по теореме Пифагора для треугольника ABC: \[AC^2 = BC^2 - AB^2\] \[AC^2 = 25^2 - 20^2\] \[AC^2 = 625 - 400\] \[AC^2 = 225\] \[AC = 15 \text{ см}\]

• Шаг 4: Находим угол C

  Используем тригонометрическое соотношение: sin(C) = AB / BC \[\sin(C) = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} = 0.8\] \[C = \arcsin(0.8) \approx 53.13^\circ\]

Решение задачи 2

• Шаг 1: Анализ условия

  Диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикулярна AD. Это означает, что угол ADB = 90°. Также, угол A = 41°. Рассмотрим треугольник ABD.

• Шаг 2: Находим угол ABD

  В треугольнике ABD сумма углов равна 180°. Следовательно: \[\angle ABD = 90^\circ - 41^\circ = 49^\circ\]

• Шаг 3: Находим AD

  Используем тригонометрическую функцию тангенс для угла A в треугольнике ABD: \[\tan(A) = \frac{BD}{AD}\] Но нам неизвестно BD. Однако, можно использовать другую тригонометрическую функцию: \[\sin(A) = \frac{BD}{AB}\] \[BD = AB \cdot \sin(41^\circ)\] \[BD = 12 \cdot \sin(41^\circ) \approx 12 \cdot 0.656 = 7.872 \text{ см}\] Теперь находим AD: \[\cos(A) = \frac{AD}{AB}\] \[AD = AB \cdot \cos(41^\circ)\] \[AD = 12 \cdot \cos(41^\circ) \approx 12 \cdot 0.755 = 9.06 \text{ см}\]

• Шаг 4: Находим площадь параллелограмма

  Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, опущенную на эту сторону. В данном случае AD является высотой к стороне AB: \[S = AB \cdot AD\] \[S = 12 \cdot 9.06 \approx 108.72 \text{ см}^2\]

Ты просто Цифровой Маэстро!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке