Контрольная работа по теме: «Параллельность и перпендикулярность в пространстве» Вариант 2

Question

Вопрос:

Контрольная работа по теме: «Параллельность и перпендикулярность в пространстве» Вариант 2

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

ГДЗ по фото 📸

Accepted Answer

Вариант 2

Дано: Плоскость α пересекает стороны AB и BC треугольника ABC соответственно в точках D и E, AC||α. BD:AD=4:3, DE=12 см.
Найти: AC.
Решение:
Так как AC||α, то DE||AC по теореме о пропорциональных отрезках (или по свойству подобия треугольников).
Рассмотрим треугольник ABC. Точка D лежит на стороне AB, точка E лежит на стороне BC. Отрезок DE параллелен стороне AC.
По условию BD:AD = 4:3. Это означает, что отрезок AB разделен на 4+3=7 частей. Отрезок BD составляет 4/7 от AB, а отрезок AD составляет 3/7 от AB.
Поскольку DE||AC, то треугольник BDE подобен треугольнику BAC. Отношение их сторон равно:
rac{BD}{BA} = rac{BE}{BC} = rac{DE}{AC}
Из условия BD:AD = 4:3 следует, что rac{BD}{AD} = rac{4}{3}. Тогда rac{BD}{BD+AD} = rac{4}{4+3} = rac{4}{7}. Следовательно, rac{BD}{BA} = rac{4}{7}.
Из подобия треугольников имеем:
rac{DE}{AC} = rac{BD}{BA} = rac{4}{7}
Подставим известные значения:
rac{12 ext{ см}}{AC} = rac{4}{7}
Решим уравнение относительно AC:
4 imes AC = 12 ext{ см} imes 7
4 imes AC = 84 ext{ см}
AC = rac{84 ext{ см}}{4}
AC = 21 ext{ см}
Дано: Ребро куба a = 6 см.
Найти:
а) Диагональ куба;
б) Площадь сечения, проходящего через две диагонали куба.
Решение:
а) Диагональ куба (d) вычисляется по формуле: d = a√3
d = 6 ext{ см} imes √3
d = 6√3 ext{ см}
б) Сечение, проходящее через две диагонали куба, является прямоугольником. Диагонали куба являются диагоналями этого прямоугольника. Стороны этого прямоугольника равны ребру куба (a) и диагонали грани куба (d_гр).
Диагональ грани куба: d_{гр} = a√2
d_{гр} = 6 ext{ см} imes √2
d_{гр} = 6√2 ext{ см}
Площадь сечения (S) прямоугольника равна произведению его сторон:
S = a imes d_{гр}
S = 6 ext{ см} imes 6√2 ext{ см}
S = 36√2 ext{ см}^2
Дано: Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. ОК ⊥ плоскости треугольника ABC. AB=BC=30 см, AC=48 см, ОК=16 см.
Найти: Расстояние от точки K до сторон треугольника.
Решение:
Поскольку ОК перпендикулярен плоскости треугольника ABC, то расстояние от точки K до любой прямой в этой плоскости находится через прямоугольный треугольник, образованный ОК, расстоянием от O до этой прямой и искомым расстоянием.
Так как треугольник ABC равнобедренный (AB=BC), то центр вписанной окружности (O) лежит на высоте, проведенной из вершины B к основанию AC. Эта высота также является медианой и биссектрисой.
Найдем высоту BO:
В прямоугольном треугольнике AOB (или COB), AO = AC/2 = 48/2 = 24 см.
По теореме Пифагора в треугольнике AOB:
AB^2 = AO^2 + BO^2
30^2 = 24^2 + BO^2
900 = 576 + BO^2
BO^2 = 900 - 576 = 324
BO = √324 = 18 ext{ см}
Радиус вписанной окружности (r) равен расстоянию от центра O до сторон треугольника. Найдем площадь треугольника ABC:
S_{ABC} = rac{1}{2} imes AC imes BO = rac{1}{2} imes 48 ext{ см} imes 18 ext{ см} = 24 imes 18 = 432 ext{ см}^2
Полупериметр треугольника p:
p = rac{AB+BC+AC}{2} = rac{30+30+48}{2} = rac{108}{2} = 54 ext{ см}
Площадь также можно найти по формуле: S_{ABC} = p imes r
432 ext{ см}^2 = 54 ext{ см} imes r
r = rac{432}{54} = 8 ext{ см}
Таким образом, расстояние от O до каждой стороны треугольника равно 8 см.
Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные ОК, расстоянием от O до стороны (r), и искомым расстоянием (h_K) от K до стороны.
h_K^2 = OK^2 + r^2
h_K^2 = 16^2 + 8^2
h_K^2 = 256 + 64 = 320
h_K = √320 = √(64 imes 5) = 8√5 ext{ см}
Расстояние от точки K до сторон треугольника равно 8√5 см.
Дано: Прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. AB=BC=4√2 см, BD₁=16 см.
Найти:
а) Расстояние между прямыми BD₁ и AA₁;
б) Угол между прямой BD₁ и плоскостью ABC.
Решение:
а) Прямая AA₁ параллельна прямой BB₁. Расстояние между скрещивающимися прямыми AA₁ и BD₁ равно расстоянию между плоскостью ABB₁A₁ и плоскостью DCC₁D₁, если бы BD₁ была параллельна этим плоскостям. Это неверно.
Правильный подход: Расстояние между AA₁ и BD₁ равно длине ребра AB (или BC), так как AB перпендикулярно AA₁ и AB перпендикулярно плоскости BB₁C₁C, в которой лежит BD₁. Это также не совсем корректно, поскольку BD₁ не является прямой, лежащей в плоскости BCC₁, и перпендикулярность AB к этой плоскости недостаточна.
Расстояние между AA₁ и BD₁ равно расстоянию между плоскостями ADD₁ и BCC₁, которое равно AB (или BC).
AB = 4√2 см.
б) Угол между прямой BD₁ и плоскостью ABC. Это угол между BD₁ и ее проекцией на плоскость ABC. Проекция BD₁ на плоскость ABC — это диагональ BD.
Найдем длину диагонали BD в основании ABCD:
BD^2 = AB^2 + BC^2 = (4√2)^2 + (4√2)^2 = (16 imes 2) + (16 imes 2) = 32 + 32 = 64
BD = √64 = 8 ext{ см}
Найдем длину ребра AA₁ (высоты параллелепипеда).
Диагональ параллелепипеда BD₁ связана с ребрами формулой: BD_1^2 = AB^2 + BC^2 + AA_1^2
16^2 = (4√2)^2 + (4√2)^2 + AA_1^2
256 = 32 + 32 + AA_1^2
256 = 64 + AA_1^2
AA_1^2 = 256 - 64 = 192
AA_1 = √192 = √(64 imes 3) = 8√3 ext{ см}
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BDD₁. Угол между BD₁ и плоскостью ABC равен углу ∠ DBD_1.
В треугольнике BDD₁:
an(∠ DBD_1) = rac{DD_1}{BD} = rac{8√3}{8} = √3
Угол, тангенс которого равен √3, равен 60°.
∠ DBD_1 = 60^ ext{o}
Ответ:
а) Расстояние между прямыми BD₁ и AA₁ равно 4√2 см.
б) Угол между прямой BD₁ и плоскостью ABC равен 60°.