Контрольная работа по теме: «Окружность» Вариант 2. 1. Центральный угол ВОС равен 30°. Найти вписанный угол, опирающийся на дугу ВС. 2. Прямая АВ касается окружности в точке А. Радиус окружности 7 см, а центр О, АВ=24 см. Найти ОВ. 3. В окружности хорды АВ и СД пересекаются в точке Е. АЕ=0,24 см, СД=0,8 см, ДЕ=0,2 см. Найти ВЕ, АВ. 4. Четырехугольник MNKP вписан в окружность диаметра МК. Найдите углы четырехугольника, если дуга NK=140°, дуга РК=100°. 5. В равнобедренный треугольник с боковой стороной 15 см и периметром 54 см вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Question

Вопрос:

Контрольная работа по теме: «Окружность» Вариант 2. 1. Центральный угол ВОС равен 30°. Найти вписанный угол, опирающийся на дугу ВС. 2. Прямая АВ касается окружности в точке А. Радиус окружности 7 см, а центр О, АВ=24 см. Найти ОВ. 3. В окружности хорды АВ и СД пересекаются в точке Е. АЕ=0,24 см, СД=0,8 см, ДЕ=0,2 см. Найти ВЕ, АВ. 4. Четырехугольник MNKP вписан в окружность диаметра МК. Найдите углы четырехугольника, если дуга NK=140°, дуга РК=100°. 5. В равнобедренный треугольник с боковой стороной 15 см и периметром 54 см вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Фото задания

Ответ:

📄 Все ответы 📸 Решить моё задание

Accepted Answer

Контрольная работа по теме: «Окружность»

Вариант 2

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно, вписанный угол равен \( 30° / 2 = 15° \).
Ответ: 15°
Так как прямая АВ касается окружности в точке А, то радиус ОА перпендикулярен касательной АВ. Треугольник ОАВ — прямоугольный с катетами ОА = 7 см и АВ = 24 см. По теореме Пифагора:
\[ OB^2 = OA^2 + AB^2 \]
\[ OB^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 \]
\[ OB = \sqrt{625} = 25 \text{ см} \]
Ответ: 25 см
По свойству пересекающихся хорд в окружности, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: \( AE \cdot EB = CE \cdot ED \).
Из условия известно, что \( CD = 0.8 \text{ см} \) и \( DE = 0.2 \text{ см} \). Тогда \( CE = CD - DE = 0.8 - 0.2 = 0.6 \text{ см} \).
Теперь найдём \( EB \):
\[ 0.24 \text{ см} \cdot EB = 0.6 \text{ см} \cdot 0.2 \text{ см} \]
\[ EB = \frac{0.6 \cdot 0.2}{0.24} = \frac{0.12}{0.24} = 0.5 \text{ см} \]
Длина хорды \( AB = AE + EB = 0.24 + 0.5 = 0.74 \text{ см} \).
Ответ: ВЕ = 0,5 см, АВ = 0,74 см
Так как четырёхугольник MNKP вписан в окружность диаметра МК, то углы \( \angle MNK \) и \( \angle MPK \) являются прямыми (опираются на диаметр).
Угол \( \angle MNK = 90° \).
Сумма углов четырёхугольника равна 360°. Дуга NK = 140°, дуга РК = 100°.
Вписанный угол, опирающийся на дугу NK, равен \( \angle NMP = 140° / 2 = 70° \).
Вписанный угол, опирающийся на дугу РК, равен \( \angle RKN = 100° / 2 = 50° \).
Угол \( \angle MKP \) опирается на дугу NK, поэтому \( \angle MKP = 140° / 2 = 70° \).
Угол \( \angle KMN \) опирается на дугу KN, поэтому \( \angle KMN = 140° / 2 = 70° \).
Угол \( \angle NKM \) опирается на дугу NK, поэтому \( \angle NKM = 140° / 2 = 70° \).
Вписанный угол \( \angle MPN \) опирается на дугу MN. Дуга MN = 360° - 140° - 100° - (дуга КР) - (дуга NK) - (дуга MN) = 360° - 140° - 100° - ? (невозможно найти без других данных).
Рассмотрим углы четырёхугольника:
\[ \angle MNK = 90° \text{ (опирается на диаметр МК)} \]
\[ \angle MPK = 90° \text{ (опирается на диаметр МК)} \]
Угол \( \angle NKM \) опирается на дугу NK (140°), следовательно \( \angle NKM = 140°/2 = 70° \).
Угол \( \angle KMN \) опирается на дугу KN, следовательно \( \angle KMN = 140°/2 = 70° \).
Угол \( \angle MKP \) опирается на дугу РК (100°), следовательно \( \angle MKP = 100°/2 = 50° \).
Угол \( \angle KNP \) опирается на дугу КР (100°), следовательно \( \angle KNP = 100°/2 = 50° \).
Углы четырехугольника:
\[ \angle K = \angle NKM + \angle MKP = 70° + 50° = 120° \]
\[ \angle N = \angle MNK + \angle KNP = 90° + 50° = 140° \]
\[ \angle P = \angle MPK + \angle KPN \]
\[ \angle M = \angle KMN + \angle KMP \]
Сумма углов четырёхугольника равна 360°. \( \angle MNK = 90° \), \( \angle MPK = 90° \).
Угол \( \angle NKM = 140°/2 = 70° \).
Угол \( \angle KMN = 140°/2 = 70° \).
Угол \( \angle PKM = 100°/2 = 50° \).
Угол \( \angle KNP = 100°/2 = 50° \).
В четырёхугольнике MNKP:
\[ \angle K = \angle NKM + \angle PKM = 70° + 50° = 120° \]
\[ \angle N = \angle MNK + \angle KNP = 90° + 50° = 140° \]
\[ \angle P = ? \]
\[ \angle M = ? \]
Вписанные углы, опирающиеся на противоположные дуги:
Дуга NKP = Дуга NK + Дуга KP = 140° + 100° = 240°.
\( \angle NMP \) опирается на дугу NKP, \( \angle NMP = 240° / 2 = 120° \).
Дуга MNP = 360° - 240° = 120°.
\( \angle NKP \) опирается на дугу MNP, \( \angle NKP = 120° / 2 = 60° \).
Углы четырёхугольника:
\[ \angle M = \angle KMN + \angle KMP \]
\[ \angle K = \angle NKM + \angle PKM \]
\[ \angle N = \angle MNK + \angle KNP \]
\[ \angle P = \angle MPK + \angle KPN \]
\[ \angle MNK = 90° \text{ (опирается на диаметр)} \]
\[ \angle MPK = 90° \text{ (опирается на диаметр)} \]
\[ \angle NKM = 140°/2 = 70° \]
\[ \angle KMN = 140°/2 = 70° \]
\[ \angle PKM = 100°/2 = 50° \]
\[ \angle KNP = 100°/2 = 50° \]
\[ \angle K = 70° + 50° = 120° \]
\[ \angle N = 90° + 50° = 140° \]
Сумма углов четырёхугольника: \( \angle M + \angle N + \angle K + \angle P = 360° \)
\[ \angle NMP = (140° + 100°)/2 = 240°/2 = 120° \]
\[ \angle NKP = (360° - 140° - 100°)/2 = (360° - 240°)/2 = 120°/2 = 60° \]
Углы четырехугольника:
\[ \angle K = \angle NKM + \angle PKM = 70° + 50° = 120° \]
\[ \angle N = \angle MNK + \angle KNP = 90° + 50° = 140° \]
\[ \angle P = \angle KPN \]
\[ \angle M = \angle KMP \]
Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°.
\[ \angle M + \angle K = 180° \]
\[ \angle K = 120° \]
\[ \angle M = 180° - 120° = 60° \]
\[ \angle N + \angle P = 180° \]
\[ \angle N = 140° \]
\[ \angle P = 180° - 140° = 40° \]
Ответ: ∠MNK = 90°, ∠MPK = 90°, ∠M = 60°, ∠K = 120°, ∠N = 140°, ∠P = 40°
Пусть \( a \) — боковая сторона равнобедренного треугольника, \( b \) — основание. Периметр \( P = 2a + b \).
По условию \( a = 15 \text{ см} \) и \( P = 54 \text{ см} \).
Найдём основание \( b \):
\[ 54 = 2 · 15 + b \]
\[ 54 = 30 + b \]
\[ b = 54 - 30 = 24 \text{ см} \]
Радиус вписанной окружности \( r \) в равнобедренном треугольнике можно найти по формуле:
\[ r = \frac{S}{p} \]
где \( S \) — площадь треугольника, \( p \) — полупериметр.
Полупериметр \( p = P / 2 = 54 / 2 = 27 \text{ см} \).
Высоту \( h \) равнобедренного треугольника, опущенную на основание, найдём по теореме Пифагора, разделив основание пополам ( \( b/2 = 24/2 = 12 \text{ см} \) ):
\[ h^2 + (b/2)^2 = a^2 \]
\[ h^2 + 12^2 = 15^2 \]
\[ h^2 + 144 = 225 \]
\[ h^2 = 225 - 144 = 81 \]
\[ h = \sqrt{81} = 9 \text{ см} \]
Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2} · b · h = \frac{1}{2} · 24 · 9 = 12 · 9 = 108 \text{ см}^2 \).
Теперь найдём радиус вписанной окружности:
\[ r = \frac{S}{p} = \frac{108}{27} = 4 \text{ см} \]
Ответ: 4 см