Контрольная работа по теме «Натуральные числа» 1. Разложите на простые множители число 4104. 2. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 792 и 1188. 3. Докажите, что числа: а) 260 и 117 не взаимно простые; б) 945 и 544 взаимно простые. 4. Найдите значение выражения 273,6: 0,76+7,24-16 5. Какие из чисел 4365, 7202, 5812, 3270 кратны: а) 5; б) 3. 6. Найдите все числа, кратные 9, которые являются решениями неравенства 35 <х<77.

1. Разложите на простые множители число 4104.

Решение:

Для разложения числа на простые множители будем последовательно делить его на простые числа, начиная с наименьшего (2, 3, 5, 7, 11 и т. д.), пока не получим в результате 1.

• 4104 ÷ 2 = 2052
• 2052 ÷ 2 = 1026
• 1026 ÷ 2 = 513
• 513 ÷ 3 = 171
• 171 ÷ 3 = 57
• 57 ÷ 3 = 19
• 19 ÷ 1 = 19

Таким образом, 4104 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 19.

Ответ: 4104 = 2³ × 3³ × 19

2. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 792 и 1188.

Решение:

Сначала разложим оба числа на простые множители:

• 792 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 11 = 2³ × 3² × 11
• 1188 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 11 = 2² × 3³ × 11

Наибольший общий делитель (НОД) - это произведение общих простых множителей в наименьших степенях:

НОД(792, 1188) = 2² × 3² × 11 = 4 × 9 × 11 = 396

Наименьшее общее кратное (НОК) - это произведение всех простых множителей в наивысших степенях:

НОК(792, 1188) = 2³ × 3³ × 11 = 8 × 27 × 11 = 2376

Ответ: НОД = 396, НОК = 2376

3. Докажите, что числа: a) 260 и 117 не взаимно простые; б) 945 и 544 взаимно простые.

Решение:

Числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1. Если НОД больше 1, то числа не взаимно простые.

а) Числа 260 и 117:

Разложим числа на простые множители:

• 260 = 2 × 2 × 5 × 13 = 2² × 5 × 13
• 117 = 3 × 3 × 13 = 3² × 13

НОД(260, 117) = 13

Так как НОД(260, 117) = 13 ≠ 1, то числа 260 и 117 не взаимно простые.

б) Числа 945 и 544:

Разложим числа на простые множители:

• 945 = 3 × 3 × 3 × 5 × 7 = 3³ × 5 × 7
• 544 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 17 = 2⁵ × 17

НОД(945, 544) = 1

Так как НОД(945, 544) = 1, то числа 945 и 544 взаимно простые.

Ответ: а) 260 и 117 не взаимно простые, НОД = 13; б) 945 и 544 взаимно простые, НОД = 1

4. Найдите значение выражения 273,6 : 0,76 + 7,24 - 16

Решение:

Выполним действия по порядку:

1. 273,6 : 0,76 = 360
2. 360 + 7,24 = 367,24
3. 367,24 - 16 = 351,24

Ответ: 351,24

5. Какие из чисел 4365, 7202, 5812, 3270 кратны: а) 5; б) 3.

Решение:

а) Число кратно 5, если оно оканчивается на 0 или 5.

• 4365: оканчивается на 5, значит кратно 5.
• 7202: оканчивается на 2, значит не кратно 5.
• 5812: оканчивается на 2, значит не кратно 5.
• 3270: оканчивается на 0, значит кратно 5.

б) Число кратно 3, если сумма его цифр кратна 3.

• 4365: 4 + 3 + 6 + 5 = 18, 18 кратно 3, значит 4365 кратно 3.
• 7202: 7 + 2 + 0 + 2 = 11, 11 не кратно 3, значит 7202 не кратно 3.
• 5812: 5 + 8 + 1 + 2 = 16, 16 не кратно 3, значит 5812 не кратно 3.
• 3270: 3 + 2 + 7 + 0 = 12, 12 кратно 3, значит 3270 кратно 3.

Ответ: а) 4365, 3270; б) 4365, 3270

6. Найдите все числа, кратные 9, которые являются решениями неравенства 35 < х < 77.

Решение:

Числа, кратные 9, находятся в таблице умножения на 9. Нам нужны числа, которые больше 35 и меньше 77.

• 9 × 1 = 9
• 9 × 2 = 18
• 9 × 3 = 27
• 9 × 4 = 36
• 9 × 5 = 45
• 9 × 6 = 54
• 9 × 7 = 63
• 9 × 8 = 72
• 9 × 9 = 81

Из этого списка выбираем числа больше 35 и меньше 77:

• 36
• 45
• 54
• 63
• 72

Ответ: 36, 45, 54, 63, 72