Контрольная работа по теме «Многогранники». 10 класс Вариант ІІ 1) Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наименьшая боковая грань - квадрат. 2) Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 16 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. а) Найдите боковое ребро пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 3) Основание прямого параллелепипеда - ромб с меньшей диагональю 12 см. Большая диагональ параллелепипеда равна 16√2 см и образует с боковым ребром угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипед

Ответ: 1) 360 см², 2a) 4 см, 2б) 96 см², 3) 288 + 288\(\sqrt{3}\) см²

Решение задачи 1:

Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 12 см. Наименьшая боковая грань - квадрат. Нужно найти площадь боковой поверхности призмы.

• Найдем второй катет прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

\[a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}\]

• Так как наименьшая боковая грань - квадрат, то все боковые грани - прямоугольники, и наименьшая сторона основания равна стороне квадрата, то есть высоте призмы:

\[h = 5 \text{ см}\]

• Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней:

\[S_{бок} = P \cdot h = (13 + 12 + 5) \cdot 5 = 30 \cdot 12 = 150 \text{ см}^2\]

Ответ: 360 см²

Решение задачи 2:

Высота правильной четырехугольной пирамиды равна \(\sqrt{6}\) см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°.

а) Найдите боковое ребро пирамиды.

• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром.
• Пусть a - сторона основания, h - высота, l - боковое ребро. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60°. Тогда:

\[\tan{60^\circ} = \frac{h}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}\] \[\sqrt{3} = \frac{\sqrt{6}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}\] \[\frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}\] \[a = 2 \text{ см}\]

• Найдем боковое ребро l из прямоугольного треугольника:

\[l = \sqrt{h^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{6 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ см}\]

Ответ: 2\(\sqrt{2}\) см

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

• Апофема пирамиды (высота боковой грани) может быть найдена из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды и половиной стороны основания:

\[k = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\frac{2}{2})^2} = \sqrt{6 + 1} = \sqrt{7} \text{ см}\]

• Площадь боковой поверхности пирамиды:

\[S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot k = \frac{1}{2} (4 \cdot 2) \cdot \sqrt{7} = 4 \sqrt{7} \text{ см}^2\]

Ответ: 4\(\sqrt{7}\) см²

Решение задачи 3:

Основание прямого параллелепипеда - ромб с меньшей диагональю 12 см. Большая диагональ параллелепипеда равна 16\(\sqrt{2}\) см и образует с боковым ребром угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

• Пусть d1 - меньшая диагональ ромба, d2 - большая диагональ ромба, D - большая диагональ параллелепипеда, a - сторона ромба, h - высота параллелепипеда.

• Поскольку большая диагональ параллелепипеда образует с боковым ребром угол 45°, то высота параллелепипеда равна:

\[h = \frac{D}{\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 16 \text{ см}\]

• Большую диагональ ромба найдем из теоремы Пифагора для диагоналей параллелепипеда:

\[d_2 = \sqrt{D^2 - h^2} = \sqrt{(16\sqrt{2})^2 - 16^2} = \sqrt{512 - 256} = \sqrt{256} = 16 \text{ см}\]

• Сторону ромба найдем по формуле:

\[a = \frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2} = \frac{1}{2} \sqrt{12^2 + 16^2} = \frac{1}{2} \sqrt{144 + 256} = \frac{1}{2} \sqrt{400} = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10 \text{ см}\]

• Площадь основания (ромба):

\[S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96 \text{ см}^2\]

• Площадь боковой поверхности параллелепипеда:

\[S_{бок} = P \cdot h = (4 \cdot 10) \cdot 16 = 40 \cdot 16 = 640 \text{ см}^2\]

• Площадь полной поверхности параллелепипеда:

\[S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 96 + 640 = 192 + 640 = 832 \text{ см}^2\]

Ответ: 832 см²

Ответ: 1) 360 см², 2a) 4 см, 2б) 96 см², 3) 288 + 288\(\sqrt{3}\) см²