Контрольная работа по теме «Многогранники» 10 класс №1. В правильной пирамиде боковое ребро равно 10 см, а сторона основания — 12 см. Найдите апофему пирамиды. №2. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая боковая грань — квадрат. №3. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°. а) Найдите высоту пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

№1

В правильной пирамиде боковое ребро равно 10 см, а сторона основания — 12 см. Найдите апофему пирамиды.

Логика такая:

• Апофема - это высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины.
• В основании правильной пирамиды лежит правильный многоугольник, в данном случае, квадрат.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, половиной стороны основания и высотой пирамиды.

Решение:

Пусть a - сторона основания, l - боковое ребро, h - апофема.

Тогда:

\[h = \sqrt{l^2 - (a/2)^2}\]

\[h = \sqrt{10^2 - (12/2)^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\]

Ответ: 8 см

№2

Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая боковая грань — квадрат.

Логика такая:

• Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
• В основании лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см.
• Наибольшая боковая грань - квадрат, следовательно, высота призмы равна гипотенузе основания.

Решение:

Найдем гипотенузу основания по теореме Пифагора:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\]

Высота призмы равна 10 см.

Периметр основания:

\[P = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24\]

Площадь боковой поверхности:

\[S = P \cdot h = 24 \cdot 10 = 240\]

Ответ: 240 см²

№3

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°. а) Найдите высоту пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Логика такая:

• В правильной четырехугольной пирамиде основание - квадрат.
• Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°.
• Высота пирамиды, половина диагонали основания и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник.

Решение:

а) Найдем высоту пирамиды:

Пусть l - боковое ребро, H - высота пирамиды, d/2 - половина диагонали основания.

Так как угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°, то высота пирамиды равна половине диагонали основания:

\[H = l \cdot sin(45°) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\]

Ответ: \(2\sqrt{2}\) см

б) Найдем площадь боковой поверхности пирамиды:

Сначала найдем сторону основания. Половина диагонали основания равна:

\[\frac{d}{2} = 2\sqrt{2}\]

Тогда диагональ основания:

\[d = 4\sqrt{2}\]

Сторона основания:

\[a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4\]

Теперь найдем апофему. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, половиной стороны основания и высотой пирамиды. Апофема - это гипотенуза этого треугольника:

\[h = \sqrt{H^2 + (a/2)^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (4/2)^2} = \sqrt{8 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\]

Площадь боковой поверхности:

\[S = \frac{1}{2} \cdot P \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 4) \cdot 2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}\]

Ответ: \(16\sqrt{3}\) см²