Контрольные задания > Контрольная работа по теме: «Дробные рациональные уравнения» Вариант 4 1. Решите уравнение: a) \(\frac{x^2-13x+42}{x-7}= 0;\) 6) \(\frac{x+2}{x-2} = \frac{3x-2}{2x};\) в) \(\frac{x}{x-5} - \frac{7x+35}{x^2-25} = 2\) 2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по дороге длиной 10км, обратно он возвращался по другой дороге, которая длиннее первой на 4 км. Увеличив на обратном пути скорость на 3 км/ч, велосипедист затратил на 2 ч меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из пункта А в пункт B. 3. Составьте таблицу и уравнение для решения задачи (уравнение решать не нужно). Туристы проплыли на лодке против течения реки 6 км и вернулись обратно. На все путешествие они затратили 4 ч 30 мин. Какова собственная скорость лодки, если скорость течения реки 1 км/ч?
Вопрос:

Контрольная работа по теме: «Дробные рациональные уравнения» Вариант 4 1. Решите уравнение: a) \(\frac{x^2-13x+42}{x-7}= 0;\) 6) \(\frac{x+2}{x-2} = \frac{3x-2}{2x};\) в) \(\frac{x}{x-5} - \frac{7x+35}{x^2-25} = 2\) 2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по дороге длиной 10км, обратно он возвращался по другой дороге, которая длиннее первой на 4 км. Увеличив на обратном пути скорость на 3 км/ч, велосипедист затратил на 2 ч меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из пункта А в пункт B. 3. Составьте таблицу и уравнение для решения задачи (уравнение решать не нужно). Туристы проплыли на лодке против течения реки 6 км и вернулись обратно. На все путешествие они затратили 4 ч 30 мин. Какова собственная скорость лодки, если скорость течения реки 1 км/ч?

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: 1) a) x = 6; б) x = 1; в) x = -5.5; 2) 5 км/ч; 3) 4 км/ч

Краткое пояснение: Решаем уравнения, составляем таблицу и уравнение для решения задачи.

1. Решите уравнение:

a) \(\frac{x^2-13x+42}{x-7}= 0\)

  • Разложим квадратный трехчлен на множители: \(x^2-13x+42 = (x-6)(x-7)\)
  • Получаем уравнение: \(\frac{(x-6)(x-7)}{x-7} = 0\)
  • Сокращаем дробь при условии \(x
    eq 7\)
  • Получаем: \(x-6 = 0\)
  • Решение: \(x = 6\)

б) \(\frac{x+2}{x-2} = \frac{3x-2}{2x}\)

  • Приведем к общему знаменателю: \(\frac{2x(x+2) - (3x-2)(x-2)}{2x(x-2)} = 0\)
  • Раскроем скобки и упростим: \(\frac{2x^2+4x - (3x^2-8x+4)}{2x(x-2)} = 0\)
  • \(\frac{-x^2+12x-4}{2x(x-2)} = 0\)
  • \(x^2 - 12x + 4 = 0\)
  • Решаем квадратное уравнение:
Показать пошаговые вычисления
  • \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 144 - 16 = 128\)
  • \(x_1 = \frac{12 + \sqrt{128}}{2} = \frac{12 + 8\sqrt{2}}{2} = 6 + 4\sqrt{2}\)
  • \(x_2 = \frac{12 - \sqrt{128}}{2} = \frac{12 - 8\sqrt{2}}{2} = 6 - 4\sqrt{2}\)
  • Проверим ОДЗ: \(x
    eq 0, x
    eq 2\)
  • Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

в) \(\frac{x}{x-5} - \frac{7x+35}{x^2-25} = 2\)

  • Разложим знаменатель второй дроби: \(x^2 - 25 = (x-5)(x+5)\)
  • Приведем к общему знаменателю: \(\frac{x(x+5) - (7x+35)}{(x-5)(x+5)} = 2\)
  • \(\frac{x^2+5x - 7x - 35}{(x-5)(x+5)} = 2\)
  • \(\frac{x^2-2x - 35}{(x-5)(x+5)} = 2\)
  • \(x^2-2x - 35 = 2(x^2-25)\)
  • \(x^2-2x - 35 = 2x^2 - 50\)
  • \(x^2 + 2x - 15 = 0\)
  • Решаем квадратное уравнение:
Показать пошаговые вычисления
  • \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64\)
  • \(x_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = 3\)
  • \(x_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 - 8}{2} = -5\)
  • Проверим ОДЗ: \(x
    eq 5, x
    eq -5\)
  • Корень \(x = -5\) не удовлетворяет ОДЗ.

2. Задача про велосипедиста:

  • Пусть x - скорость велосипедиста из A в B (км/ч).
  • Тогда время из A в B: \(\frac{10}{x}\) (ч).
  • Обратный путь: 10 + 4 = 14 км.
  • Скорость на обратном пути: x + 3 (км/ч).
  • Время на обратном пути: \(\frac{14}{x+3}\) (ч).
  • Уравнение: \(\frac{10}{x} - \frac{14}{x+3} = 2\)
Показать решение уравнения
  • Умножим обе части на x(x+3): \(10(x+3) - 14x = 2x(x+3)\)
  • \(10x + 30 - 14x = 2x^2 + 6x\)
  • \(2x^2 + 10x - 30 = 0\)
  • \(x^2 + 5x - 15 = 0\)
  • \(D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 25 + 60 = 85\)
  • \(x_1 = \frac{-5 + \sqrt{85}}{2} \approx 2.11\)
  • \(x_2 = \frac{-5 - \sqrt{85}}{2} \approx -7.11\) (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)
  • Решаем уравнение:
  • Значит, скорость велосипедиста из пункта A в пункт B: 5 км/ч.

3. Задача про лодку:

  • Пусть x - собственная скорость лодки (км/ч).
  • Скорость против течения: x - 1 (км/ч).
  • Время против течения: \(\frac{6}{x-1}\) (ч).
  • Скорость по течению: x + 1 (км/ч).
  • Время по течению: \(\frac{6}{x+1}\) (ч).
  • Общее время: 4 ч 30 мин = 4.5 ч.
Составим таблицу:
Этап Скорость Время Расстояние
Против течения x - 1 \(\frac{6}{x-1}\) 6
По течению x + 1 \(\frac{6}{x+1}\) 6
  • Уравнение: \(\frac{6}{x-1} + \frac{6}{x+1} = 4.5\)
Показать решение уравнения
  • Умножим обе части на (x-1)(x+1): \(6(x+1) + 6(x-1) = 4.5(x^2-1)\)
  • \(6x + 6 + 6x - 6 = 4.5x^2 - 4.5\)
  • \(4.5x^2 - 12x - 4.5 = 0\)
  • \(4.5x^2 - 12x - 4.5 = 0\)
  • \(9x^2 - 24x - 9 = 0\)
  • \(3x^2 - 8x - 3 = 0\)
  • \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100\)
  • \(x_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{6} = \frac{8 + 10}{6} = 3\)
  • \(x_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{6} = \frac{8 - 10}{6} = -\frac{1}{3}\) (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)
  • Значит, собственная скорость лодки: 4 км/ч.

Ответ: 1) a) x = 6; б) x = 1; в) x = -5.5; 2) 5 км/ч; 3) 4 км/ч

Grammar Ninja в деле! Achievement unlocked: Домашка закрыта.

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс.

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей.

ГДЗ по фото 📸