Контрольная работа по теме "Арифметический корень п-ой степени. Иррациональные уравнения и неравенства" Вариант 2 2 y = №1. Найти функцию, обратную к функции х+2. Указать её область определения и множество значений. Является ли эта функция ограниченной? №2. Вычислить: а) 1 83: 2-1+32.81; 6) 17+ √46.2/17-√46 №3. Найти область определения функции у = 3x-7 №4. Изобразить эскиз графика функции у = х и перечислить её основные свойства. №5. Решить уравнение: 1) √x+2= 3; 2) √1-x = x+1; 3) √2x+5-√x+6 = 1. №6. Решить неравенства: 1) √4x-1<-1; 2) √4x-x2 >- 2 - 3x2

№1. Найти обратную функцию, область определения и множество значений для \[y = \frac{2}{x+2}\] .

• Чтобы найти обратную функцию, меняем местами x и y и выражаем y:
\[x = \frac{2}{y+2}\] \[x(y+2) = 2\] \[xy + 2x = 2\] \[xy = 2 - 2x\] \[y = \frac{2 - 2x}{x}\]
• Обратная функция: \[y = \frac{2 - 2x}{x}\]
• Область определения исходной функции: x ≠ -2, то есть \[(-∞, -2) ∪ (-2, +∞)\]
• Множество значений исходной функции: y ≠ 0, то есть \[(-∞, 0) ∪ (0, +∞)\]
• Область определения обратной функции: x ≠ 0, то есть \[(-∞, 0) ∪ (0, +∞)\]
• Множество значений обратной функции: y ≠ -2, то есть \[(-∞, -2) ∪ (-2, +∞)\]
• Функция ограничена, так как её значения не уходят в бесконечность на заданном промежутке.

№2. Вычислить:

а) \[8^{\frac{1}{3}} : 2^{-1} + 3^{-2} \cdot 81^{\frac{1}{4}}\]

• Упрощаем выражение:
\[8^{\frac{1}{3}} = 2\] \[2^{-1} = \frac{1}{2}\] \[3^{-2} = \frac{1}{9}\] \[81^{\frac{1}{4}} = 3\]
• Подставляем значения:
\[2 : \frac{1}{2} + \frac{1}{9} \cdot 3 = 4 + \frac{1}{3} = \frac{13}{3}\]

б) \(\sqrt[6]{17 + \sqrt{46}} \cdot \sqrt[6]{17 - \sqrt{46}}\)

• Упрощаем выражение:
\[\sqrt[6]{17 + \sqrt{46}} \cdot \sqrt[6]{17 - \sqrt{46}} = \sqrt[6]{(17 + \sqrt{46})(17 - \sqrt{46})}\] \[= \sqrt[6]{17^2 - (\sqrt{46})^2} = \sqrt[6]{289 - 46} = \sqrt[6]{243} = \sqrt[6]{3^5} = 3^{\frac{5}{6}}\]

№3. Найти область определения функции \[y = \sqrt[3]{3x-7}\] .

• Подкоренное выражение может быть любым, так как корень кубический.
• Область определения: \[x ∈ (-∞, +∞)\]

№4. Изобразить эскиз графика функции \[y = x^6\] и перечислить её основные свойства.

• График похож на параболу, но более плоский вблизи нуля и крутой вдали от него.
• Функция четная: \[y(-x) = (-x)^6 = x^6 = y(x)\]
• Область определения: \[x ∈ (-∞, +∞)\]
• Множество значений: \[y ∈ [0, +∞)\]
• Функция убывает на промежутке \[(-∞, 0]\] и возрастает на промежутке \[ [0, +∞)\]

№5. Решить уравнение:

1) \(\sqrt[3]{x+2} = 3\)

• Возводим обе части в куб:
\[x + 2 = 27\] \[x = 25\]

2) \(\sqrt{1-x} = x+1\)

• Возводим обе части в квадрат:
\[1 - x = (x+1)^2\] \[1 - x = x^2 + 2x + 1\] \[x^2 + 3x = 0\] \[x(x + 3) = 0\] \[x = 0, x = -3\]
• Проверка:
• Для x = 0: \(\sqrt{1-0} = 0+1\), \(1 = 1\) (верно)
• Для x = -3: \(\sqrt{1-(-3)} = -3+1\), \(2 = -2\) (неверно)
• Решение: x = 0

3) \(\sqrt{2x+5} - \sqrt{x+6} = 1\)

• Преобразуем уравнение:
\[\sqrt{2x+5} = \sqrt{x+6} + 1\]
• Возводим обе части в квадрат:
\[2x + 5 = (\sqrt{x+6} + 1)^2\] \[2x + 5 = x + 6 + 2\sqrt{x+6} + 1\] \[x - 2 = 2\sqrt{x+6}\]
• Возводим обе части в квадрат:
\[(x - 2)^2 = 4(x+6)\] \[x^2 - 4x + 4 = 4x + 24\] \[x^2 - 8x - 20 = 0\] \[(x - 10)(x + 2) = 0\] \[x = 10, x = -2\]
• Проверка:
• Для x = 10: \(\sqrt{2(10)+5} - \sqrt{10+6} = \sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1\) (верно)
• Для x = -2: \(\sqrt{2(-2)+5} - \sqrt{-2+6} = \sqrt{1} - \sqrt{4} = 1 - 2 = -1\) (неверно)
• Решение: x = 10

№6. Решить неравенства:

1) \(\sqrt{4x-1} < -1\)

• Квадратный корень всегда неотрицателен, поэтому неравенство не имеет решений.

2) \(\sqrt{4x - x^2} > -2 - 3x^2\)

• Квадратный корень всегда неотрицателен, а правая часть всегда отрицательна, следовательно, неравенство выполняется, если подкоренное выражение больше или равно нулю.
\[4x - x^2 ≥ 0\] \[x(4 - x) ≥ 0\] \[x ∈ [0, 4]\]