Контрольная работа по теме «Арифметическая прогрессия» Вариант 1 1. Найдите разность д арифметической прогрессии: 2,6,10,14,... Затем вычислите а10 и а15. 2. Первый член арифметической прогрессии а1=3, разность d=4. Найдите сумму первых 20 членов прогрессии (S20). 3. Арифметическая прогрессия задана формулой an=2n+1. Найдите а5 и а25. 4. В арифметической прогрессии а4=11 и а8=23. Найдите первый член а1 и разность d. 5. Записаны первые три члена арифметической прогрессии: 15,12,9. Какое число стоит на 50-м месте? грессии: 5,9,13,17,... Затем вычислите а8 и d=5. Найдите сумму

1. Найдите разность d арифметической прогрессии: 2, 6, 10, 14,... Затем вычислите a10 и a15.

• Шаг 1: Находим разность арифметической прогрессии.

\[ d = a_2 - a_1 = 6 - 2 = 4 \]

• Шаг 2: Вычисляем a10.

\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \] \[ a_{10} = 2 + (10 - 1) \cdot 4 = 2 + 9 \cdot 4 = 2 + 36 = 38 \]

• Шаг 3: Вычисляем a15.

\[ a_{15} = 2 + (15 - 1) \cdot 4 = 2 + 14 \cdot 4 = 2 + 56 = 58 \]

Ответ: d = 4, a10 = 38, a15 = 58

2. Первый член арифметической прогрессии a1 = 3, разность d = 4. Найдите сумму первых 20 членов прогрессии (S20).

• Шаг 1: Используем формулу для суммы n первых членов арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n \]

• Шаг 2: Подставляем значения и вычисляем S20:

\[ S_{20} = \frac{2 \cdot 3 + (20 - 1) \cdot 4}{2} \cdot 20 = \frac{6 + 19 \cdot 4}{2} \cdot 20 = \frac{6 + 76}{2} \cdot 20 = \frac{82}{2} \cdot 20 = 41 \cdot 20 = 820 \]

Ответ: S20 = 820

3. Арифметическая прогрессия задана формулой an = 2n + 1. Найдите a5 и a25.

• Шаг 1: Вычисляем a5.

\[ a_5 = 2 \cdot 5 + 1 = 10 + 1 = 11 \]

• Шаг 2: Вычисляем a25.

\[ a_{25} = 2 \cdot 25 + 1 = 50 + 1 = 51 \]

Ответ: a5 = 11, a25 = 51

4. В арифметической прогрессии a4 = 11 и a8 = 23. Найдите первый член a1 и разность d.

• Шаг 1: Записываем уравнения для a4 и a8 через a1 и d:

\[ a_4 = a_1 + 3d = 11 \] \[ a_8 = a_1 + 7d = 23 \]

• Шаг 2: Вычитаем первое уравнение из второго, чтобы найти d:

\[ (a_1 + 7d) - (a_1 + 3d) = 23 - 11 \] \[ 4d = 12 \] \[ d = 3 \]

• Шаг 3: Подставляем d = 3 в первое уравнение, чтобы найти a1:

\[ a_1 + 3 \cdot 3 = 11 \] \[ a_1 + 9 = 11 \] \[ a_1 = 2 \]

Ответ: a1 = 2, d = 3

5. Записаны первые три члена арифметической прогрессии: 15, 12, 9. Какое число стоит на 50-м месте?

• Шаг 1: Находим разность арифметической прогрессии:

\[ d = a_2 - a_1 = 12 - 15 = -3 \]

• Шаг 2: Вычисляем a50:

\[ a_{50} = a_1 + (50 - 1)d \] \[ a_{50} = 15 + (49) \cdot (-3) = 15 - 147 = -132 \]

Ответ: -132