Контрольная работа по геометрии Вариант 2 1. Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 86 см, а одна из сторон равна 20 см. Найдите две другие стороны треугольника. Ответ запишите в виде двух чисел, идущих подряд, без лишних знаков. 2. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота CD. Найдите величину угла А, если DB = 3, а BC = 6. 3. Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника АВС параллельна стороне АС. Найдите величину угла САВ, если ∠ABC = 30°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение:

3. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle ABC = 30^\text{o}\). Биссектриса внешнего угла при вершине B параллельна AC. Найти: \(\angle CAB\).

Пусть BL — биссектриса внешнего угла при вершине B. Тогда \(\angle CBL = \angle LBF\) (где F — точка на продолжении стороны CB).

По условию, BL || AC.

Так как BL || AC, то \(\angle LBF = \angle CAB\) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BL и AC и секущей AB).

Также, так как BL || AC, то \(\angle CBL = \angle BCA\) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BL и AC и секущей BC).

Поскольку BL — биссектриса внешнего угла, то \(\angle CBL = \angle LBF\).

Из равенств \(\angle LBF = \angle CAB\) и \(\angle CBL = \angle BCA\) и \(\angle CBL = \angle LBF\) следует, что \(\angle CAB = \angle BCA\).

Это означает, что \(\triangle ABC\) — равнобедренный, с боковыми сторонами AB и BC.

Сумма углов в \(\triangle ABC\) равна 180°: \(\angle CAB + \angle ABC + \angle BCA = 180^\text{o}\).

Подставим \(\angle ABC = 30^\text{o}\) и \(\angle CAB = \angle BCA\):

\(\angle CAB + 30^\text{o} + \angle CAB = 180^\text{o}\)

\(2 \cdot \cdot\in \in = 180^\text{o} - 30^\text{o}\)

\(2 \cdot\cdot\in = 150^\text{o}\)

\(\cdot\cdot\in = \frac{150^\text{o}}{2} = 75^\text{o}\)

Следовательно, \(\angle CAB = 75^\text{o}\).

Ответ: 75