Контрольная работа по геометрии Вариант 1 1. Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Пе треугольника равен 78 см, а одна из сторон равна 18 см. Найдите две другие стор треугольника. Ответ запишите в виде двух чисел, идущих подряд, без лишних знаков. 2. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота СD. Найдите величину угла А, если DB = 8, a BC =16. 3. Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника АВС параллельна стороне АС. Найдите величину угла САВ, если LABC = 28°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение:

3. Внешний угол при вершине B равен 28°. Биссектриса внешнего угла делит его пополам, но в условии сказано, что биссектриса параллельна стороне AC. Если биссектриса внешнего угла при вершине B параллельна AC, то угол между биссектрисой и стороной AB равен углу CAB (как накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей AB). Также угол между биссектрисой и продолжением стороны CB равен углу ACB (как соответственные при параллельных AC и BD и секущей CB). По условию, внешний угол при вершине B равен 28°. Пусть это будет угол ∠CBK. Тогда ∠ABK = 28°. Биссектриса BL делит этот угол пополам, т.е. ∠ABL = ∠LBK = 14°. Однако, в задаче сказано, что биссектриса внешнего угла при вершине B параллельна стороне AC. Это означает, что угол между биссектрисой и стороной AB равен углу A (как накрест лежащие), и угол между биссектрисой и продолжением стороны CB равен углу C (как накрест лежащие). Так как биссектриса делит внешний угол пополам, то 2∠A = 2∠C, откуда ∠A = ∠C. Если ∠A = ∠C, то треугольник ABC равнобедренный с AB=BC. Но это противоречит условию, что биссектриса внешнего угла при вершине B параллельна AC. Давайте предположим, что в условии подразумевается, что угол, образованный биссектрисой внешнего угла при вершине B и стороной AB, равен 28°, или что внешний угол при вершине B равен 28° и биссектриса этого угла параллельна AC. Если внешний угол при вершине B равен 28°, то внутренний угол ∠ABC = 180° - 28° = 152°. Тогда биссектриса внешнего угла делит 28° на два угла по 14°. Если биссектриса внешнего угла при B (назовем ее BL) параллельна AC, то ∠ABL = ∠BAC (как накрест лежащие углы при параллельных AC и BL и секущей AB). Так как BL является биссектрисой внешнего угла ∠CBK, то ∠CBL = ∠LBK = 28°/2 = 14°. Угол ∠ABC = 180° - ∠CBK = 180° - 28° = 152°. В треугольнике ABC сумма углов равна 180°. ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°. ∠BAC + 152° + ∠BCA = 180°. ∠BAC + ∠BCA = 28°. Так как ∠ABL = 14° и ∠ABL = ∠BAC, то ∠BAC = 14°. Тогда 14° + ∠BCA = 28°, следовательно ∠BCA = 14°. Тогда треугольник ABC равнобедренный с AB = BC. Вернемся к условию: Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника АВС параллельна стороне АС. Пусть внешний угол при вершине B равен ∠CBF. Тогда ∠ABC + ∠CBF = 180°. Пусть BL — биссектриса ∠CBF. Тогда ∠CBL = ∠LBF. Так как BL || AC, то ∠LBF = ∠BAC (как накрест лежащие углы при параллельных BL и AC и секущей AB). Также ∠CBL = ∠BCA (как накрест лежащие углы при параллельных BL и AC и секущей BC). Следовательно, ∠BAC = ∠BCA. Это означает, что треугольник ABC равнобедренный с AB = BC. В этом случае углы при основании равны. Если ∠BAC = ∠BCA, то ∠ABC = 180° - 2∠BAC. Внешний угол при вершине B равен 180° - ∠ABC = 180° - (180° - 2∠BAC) = 2∠BAC. Так как BL — биссектриса внешнего угла, то ∠LBF = ∠CBF / 2 = (2∠BAC) / 2 = ∠BAC. Но ∠LBF = ∠BAC по условию (как накрест лежащие). Это не дает нам конкретного значения. Давайте перечитаем условие: «Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника АВС параллельна стороне АС». Пусть внешний угол при вершине B равен $$2\beta$$. Тогда биссектриса делит его на два угла по $$\beta$$. ∠ABC = $$180^\text{o} - 2\beta$$. Угол ∠CAB = ∠LBF (накрест лежащие). Так как BL — биссектриса, то ∠LBF = $$\beta$$. Значит ∠CAB = $$\beta$$. Угол ∠BCA = ∠CBL (накрест лежащие). А так как ∠CBL = $$\beta$$, то ∠BCA = $$\beta$$. Следовательно, ∠CAB = ∠BCA = $$\beta$$. Треугольник ABC равнобедренный. Тогда ∠ABC = $$180^\text{o} - 2\beta$$. Внешний угол при вершине B равен $$180^\text{o} - ∠ABC = 180^\text{o} - (180^\text{o} - 2\beta) = 2\beta$$. Это условие выполняется. Теперь рассмотрим пункт 3 из Варианта 2, где ∠ABC = 30°. В этом случае внутренний угол ∠ABC = 30°. Внешний угол при вершине B равен $$180^\text{o} - 30^\text{o} = 150^\text{o}$$. Биссектриса этого угла делит его на два угла по $$150^\text{o}/2 = 75^\text{o}$$. Если биссектриса внешнего угла при B параллельна AC, то ∠BAC = 75° (накрест лежащие). Угол ∠BCA = 75° (накрест лежащие). Сумма углов в треугольнике: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 75° + 30° + 75° = 180°. Это верно. Так как в Варианте 1 сказано, что ∠ABC = 28°, то это означает, что внутренний угол равен 28°. Тогда внешний угол равен $$180^\text{o} - 28^\text{o} = 152^\text{o}$$. Биссектриса делит его на $$152^\text{o}/2 = 76^\text{o}$$. Если биссектриса внешнего угла при B параллельна AC, то ∠BAC = 76° (накрест лежащие). Угол ∠BCA = 76° (накрест лежащие). Сумма углов: 76° + 28° + 76° = 180°. Это верно. Таким образом, ∠CAB = 76°.

Ответ: 76