Контрольные задания > Контрольная работа по геометрии для 8 класса по теме «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники» Вариант 2
Вопрос:

Контрольная работа по геометрии для 8 класса по теме «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники» Вариант 2

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение:

1. Какие из углов, представленных на рисунке, равны 90°?

  • а) ∠LMNO: Этот угол является вписанным и опирается на диаметр (если LM - диаметр). Если LM - диаметр, то угол LMNO равен 90°. На рисунке LM выглядит как диаметр, так как проходит через центр O.
  • б) ∠SKT: Этот угол является вписанным и опирается на дугу ST. Без дополнительной информации о дуге ST или угле, опирающемся на нее, мы не можем точно сказать, равен ли он 90°. На рисунке он выглядит острым.
  • в) правильного варианта ответа нет.

Вывод: Угол LMNO, опираясь на диаметр LM, равен 90°.

Ответ: 1-а

2. Центральный и вписанный углы опираются на дугу окружности в 60°. Чему равен центральный и вписанный углы?

  • Центральный угол равен величине дуги, на которую он опирается.
  • Вписанный угол равен половине величины дуги, на которую он опирается.

Ответ: Центральный угол = 60°, Вписанный угол = 30°.

3. Четырёхугольник КМНР вписан в окружность. Угол КНР=35°, угол НКР=45°. Найдите угол КМН.

Четырёхугольник КМНР вписан в окружность, значит, это вписанный четырёхугольник. В таком четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

  • Противоположный угол к ∠КНР — это ∠КМР.
  • ∠КМР + ∠КНР = 180°
  • ∠КМР + 35° = 180°
  • ∠КМР = 180° - 35° = 145°

В треугольнике КНР:

  • ∠KRP = 180° - ∠КНР - ∠НКР = 180° - 35° - 45° = 100°.

Угол KMP и угол KRP опираются на разные дуги. Это не поможет найти угол KMN.

Рассмотрим угол KPN. Он вписанный и опирается на дугу KN. Угол KMN тоже опирается на дугу KN. Значит, ∠KPN = ∠KMN.

Рассмотрим угол MKR. Он вписанный и опирается на дугу MR. Угол MNP тоже опирается на дугу MR. Значит, ∠MKR = ∠MNP.

Сумма углов в четырёхугольнике КМНР равна 360°:

  • ∠KMN + ∠MNP + ∠NPR + ∠PRK = 360°

Это не помогает.

Дано: ∠КНР = 35°, ∠НКР = 45°. Это углы треугольника КНР. Найдем ∠KRN.

  • ∠KRN = 180° - 35° - 45° = 100°.

Угол КМН и угол КНР являются противоположными углами вписанного четырёхугольника КМНР. Следовательно, их сумма равна 180°.

  • ∠КМН + ∠КНР = 180°
  • ∠КМН + 35° = 180°
  • ∠КМН = 180° - 35° = 145°

Ответ: 145°

4. Дана прямоугольная трапеция ABCD (∠A = 90°), в которую вписана окружность радиусом 9 см. Сторона CD равна 24 см. Найди среднюю линию трапеции.

Дано:

  • Трапеция ABCD, ∠A = 90°, AB || CD
  • Окружность вписана, r = 9 см
  • CD = 24 см

Найти: Среднюю линию трапеции (m).

Решение:

  1. Высота трапеции: Так как в трапецию вписана окружность, ее высота равна диаметру окружности. Высота трапеции равна двум радиусам.
    • h = 2 * r = 2 * 9 см = 18 см.
    • Так как трапеция прямоугольная с ∠A = 90°, то высота равна боковой стороне AD. AD = 18 см.
  2. Сумма оснований: Для вписанной трапеции сумма боковых сторон равна сумме оснований.
    • AB + CD = AD + BC
  3. Нахождение AB: Проведем высоту BH из вершины B к основанию CD. Получим прямоугольник ABHD и прямоугольный треугольник BHC.
    • BH = AD = 18 см.
    • CH = CD - HD = CD - AB.
    • В прямоугольном треугольнике BHC по теореме Пифагора: BC² = BH² + CH²
  4. Свойства вписанной окружности: Для четырехугольника, в который вписана окружность, сумма противоположных сторон равна.
    • AB + CD = AD + BC
    • AB + 24 = 18 + BC
    • BC = AB + 24 - 18 = AB + 6
  5. Подставляем в теорему Пифагора:
    • (AB + 6)² = 18² + (24 - AB)²
    • AB² + 12AB + 36 = 324 + 576 - 48AB + AB²
    • 12AB + 12AB = 324 + 576 - 36
    • 60AB = 864
    • AB = 864 / 60 = 14.4 см.
  6. Средняя линия трапеции: Средняя линия равна полусумме оснований.
    • m = (AB + CD) / 2
    • m = (14.4 + 24) / 2 = 38.4 / 2 = 19.2 см.

Ответ: 19.2 см

5. К окружности с центром в точке О проведены касательная МН и секущая МО. Найдите радиус окружности, если МН = 4 см, МО = 5 см.

Дано:

  • Окружность с центром O.
  • MH - касательная к окружности в точке H.
  • MO - секущая.
  • MH = 4 см.
  • MO = 5 см.

Найти: Радиус окружности (r).

Решение:

  1. Свойство касательной: Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, ∠MHO = 90°.
  2. Прямоугольный треугольник: Треугольник MHO является прямоугольным, где MH - катет, OH - катет (радиус окружности), а MO - гипотенуза.
  3. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
    • MO² = MH² + OH²
    • 5² = 4² + r²
    • 25 = 16 + r²
    • r² = 25 - 16
    • r² = 9
    • r = √9
    • r = 3 см.

Ответ: 3 см

6. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠DBC = 27°, ∠ABD=61° и ∠BDC=73°. Найдите углы четырёхугольника.

Дано:

  • Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
  • ∠DBC = 27°
  • ∠ABD = 61°
  • ∠BDC = 73°

Найти: Углы четырёхугольника (∠A, ∠B, ∠C, ∠D).

Решение:

  1. Углы, опирающиеся на одну дугу:
    • Угол BAC опирается на дугу BC, на которую опирается и ∠BDC. Следовательно, ∠BAC = ∠BDC = 73°.
    • Угол CAD опирается на дугу CD, на которую опирается и ∠CBD. Следовательно, ∠CAD = ∠CBD = 27°.
    • Угол ACB опирается на дугу AB, на которую опирается и ∠ADB.
    • Угол ACD опирается на дугу AD, на которую опирается и ∠ABD. Следовательно, ∠ACD = ∠ABD = 61°.
  2. Нахождение углов четырёхугольника:
    • ∠A: ∠A = ∠BAC + ∠CAD = 73° + 27° = 100°.
    • ∠B: ∠B = ∠ABD + ∠DBC = 61° + 27° = 88°.
    • ∠C: ∠C = ∠ACB + ∠ACD. Нам нужно найти ∠ACB. Угол ACB опирается на дугу AB. Угол ADB также опирается на дугу AB. Чтобы найти ∠ADB, рассмотрим треугольник BDC. Сумма углов в треугольнике BDC: ∠DBC + ∠BDC + ∠BCD = 180°. Здесь ∠BCD - это не угол четырехугольника, а угол треугольника.
    • Рассмотрим треугольник ABD. ∠ADB = 180° - ∠ABD - ∠BAD (Если бы мы знали ∠BAD).
    • Свойство вписанного четырёхугольника: Сумма противоположных углов равна 180°.
    • ∠C: ∠C = 180° - ∠A = 180° - 100° = 80°.
    • ∠D: ∠D = 180° - ∠B = 180° - 88° = 92°.
  3. Проверка: Сумма углов четырёхугольника = 100° + 88° + 80° + 92° = 360°.
  4. Дополнительные проверки:
    • В треугольнике BDC: ∠CBD = 27°, ∠BDC = 73°. Угол BCD = 180° - 27° - 73° = 80°. Этот угол является ∠C четырехугольника. Это совпадает с нашим результатом.
    • В треугольнике ABD: ∠ABD = 61°. Угол ADB = ∠D - ∠BDC = 92° - 73° = 19°. Угол BAD = ∠A = 100°. Сумма углов в треугольнике ABD = 61° + 19° + 100° = 180°. Это неверно, потому что ∠BAD = ∠A = 100°, а ∠ADB = 19°. Значит, ∠A = ∠BAC + ∠CAD = 73° + 27° = 100°.
  5. Пересчет углов:
    • ∠A = 100° (из ∠BAC + ∠CAD)
    • ∠B = 88° (из ∠ABD + ∠DBC)
    • ∠C = 180° - ∠A = 180° - 100° = 80°.
    • ∠D = 180° - ∠B = 180° - 88° = 92°.
  6. Проверка на основе данных углов:
    • ∠DBC = 27° (дан). Угол DAC = 27° (опираются на одну дугу DC).
    • ∠ABD = 61° (дан). Угол ACD = 61° (опираются на одну дугу AD).
    • ∠BDC = 73° (дан). Угол BAC = 73° (опираются на одну дугу BC).
  7. Суммируем углы:
    • ∠A = ∠BAC + ∠CAD = 73° + 27° = 100°.
    • ∠B = ∠ABD + ∠DBC = 61° + 27° = 88°.
    • ∠C = ∠ACB + ∠ACD. Угол ACB опирается на дугу AB. Угол ADB = ∠D - ∠BDC = 92° - 73° = 19°. Значит, ∠ACB = 19°. ∠C = 19° + 61° = 80°.
    • ∠D = ∠ADB + ∠BDC = 19° + 73° = 92°.

Ответ: ∠A = 100°, ∠B = 88°, ∠C = 80°, ∠D = 92°.

7*. В окружности радиуса 12 см проведён диаметр и на нём взята точка А на расстоянии 6 см от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается данной окружности.

Дано:

  • Большая окружность с центром O, радиус R = 12 см.
  • Диаметр MN.
  • Точка A на MN, OA = 6 см.
  • Маленькая окружность касается MN в точке A и большой окружности изнутри.

Найти: Радиус меньшей окружности (r).

Решение:

  1. Расположение точек: Точка A находится на диаметре MN. Расстояние от центра O до A равно 6 см. Так как радиус большой окружности R = 12 см, точка A находится между центром O и одной из точек на окружности (например, N).
  2. Касание окружностей: Меньшая окружность касается большой окружности изнутри. Это означает, что центры O и O' (центр меньшей окружности) и точка касания лежат на одной прямой.
  3. Касание диаметра: Меньшая окружность касается диаметра MN в точке A. Это означает, что радиус меньшей окружности O'A перпендикулярен диаметру MN.
  4. Геометрическая конфигурация: Пусть O' - центр меньшей окружности. Тогда O'A = r (радиус меньшей окружности). Поскольку O'A перпендикулярно MN, и O лежит на MN, то O'A будет перпендикулярно OA.
  5. Расстояние между центрами: Расстояние между центрами двух касающихся окружностей равно разности их радиусов (так как касание внутреннее).
    • OO' = R - r
    • OO' = 12 - r
  6. Треугольник OO'A: Рассмотрим треугольник OO'A. У нас есть:
    • OA = 6 см.
    • O'A = r.
    • OO' = 12 - r.
  7. Так как O'A перпендикулярно OA (поскольку O'A перпендикулярно диаметру MN, на котором лежит OA), то треугольник OO'A является прямоугольным с прямым углом при вершине A.
  8. Применяем теорему Пифагора:
    • OO'² = OA² + O'A²
    • (12 - r)² = 6² + r²
    • 144 - 24r + r² = 36 + r²
    • 144 - 24r = 36
    • 144 - 36 = 24r
    • 108 = 24r
    • r = 108 / 24
    • r = 4.5 см.

Ответ: 4.5 см

ГДЗ по фото 📸