Контрольная работа по геометрии № 1: «Решение треугольников»

Вариант 1

4. Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а угол между ними – 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Пусть a = 6 см, b = 8 см, угол γ = 60°.

По теореме косинусов найдем третью сторону c:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos{\gamma}$$ $$c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos{60^{\circ}}$$ $$c^2 = 36 + 64 - 96 \cdot \frac{1}{2}$$ $$c^2 = 100 - 48 = 52$$ $$c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7.21 \text{ см}$$

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой:

$$S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin{\gamma}$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin{60^{\circ}}$$ $$S = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \approx 20.78 \text{ см}^2$$

Ответ: Третья сторона равна $$2\sqrt{13} \text{ см}$$, площадь равна $$12\sqrt{3} \text{ см}^2$$.

5. В треугольнике АВС известно, что АВ = 3√2 см, ∠C = 45°, ∠A = 120°. Найдите сторону ВС треугольника.

По теореме синусов:

$$\frac{BC}{\sin{A}} = \frac{AB}{\sin{C}}$$ $$BC = \frac{AB \cdot \sin{A}}{\sin{C}}$$ $$BC = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin{120^{\circ}}}{\sin{45^{\circ}}}$$ $$BC = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$ $$BC = 3\sqrt{3} \text{ см}$$

Ответ: Сторона BC = $$3\sqrt{3} \text{ см}$$.

6. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 7 см, 10 см и 13 см.

Пусть a = 7 см, b = 10 см, c = 13 см.

Проверим, выполняется ли неравенство треугольника:

$$a + b > c$$ $$7 + 10 > 13$$ $$17 > 13$$ - выполняется.

Теперь определим тип треугольника. Для этого сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:

$$c^2 ? a^2 + b^2$$ $$13^2 ? 7^2 + 10^2$$ $$169 ? 49 + 100$$ $$169 > 149$$

Так как $$c^2 > a^2 + b^2$$, то треугольник является тупоугольным.

Ответ: Треугольник является тупоугольным.