Контрольная работа "Площади поверхности и объёмы круглых тел" 2 вариант 1. Найдите объем конуса с диаметром 8 см и высотой 3 см. 2. Объем цилиндра равен 80π м³. Чему равна высота, если радиус основания равен 4 дм? 3. В цилиндрический сосуд налили 2000 см³ воды. Уровень воды при этом дости- гает высоты 12 см. В жидкость полностью по- грузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем де- тали? Ответ выразите в см³. 4. Высота конуса равна 12, а диаметр основа- ния – 10. Найдите образующую конуса. 5. В сосуде, имеющем форму конуса, 1 уровень жидкости достигает 2 высоты. Объём жидкости равен 40 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

1. Найдите объем конуса с диаметром 8 см и высотой 3 см.

Радиус конуса равен половине диаметра: r = d/2 = 8/2 = 4 см.

Объем конуса вычисляется по формуле: \[V = \frac{1}{3}πr^2h\]

Подставляем значения: \[V = \frac{1}{3}π \cdot 4^2 \cdot 3 = \frac{1}{3}π \cdot 16 \cdot 3 = 16π \approx 50.27 см³\]

Ответ: 16π см³

2. Объем цилиндра равен 80π м³. Чему равна высота, если радиус основания равен 4 дм?

Сначала переведем радиус из дециметров в метры: 4 дм = 0.4 м.

Объем цилиндра вычисляется по формуле: \[V = πr^2h\]

Выразим высоту h: \[h = \frac{V}{πr^2}\]

Подставляем значения: \[h = \frac{80π}{π \cdot (0.4)^2} = \frac{80}{0.16} = 500 м\]

В условии ошибка: Объем цилиндра равен 80π дм³. Тогда высота равна: \[h = \frac{80π}{π \cdot (4)^2} = \frac{80}{16} = 5 дм\]

3. В цилиндрический сосуд налили 2000 см³ воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³.

Объем детали равен объему вытесненной воды, то есть объему цилиндра с высотой, равной подъему уровня воды.

Пусть S - площадь основания цилиндрического сосуда. Тогда:

Первоначальный объем воды: \[V_1 = S \cdot 12 = 2000 см³\]

Объем воды после погружения детали: \[V_2 = S \cdot (12 + 9) = S \cdot 21 см³\]

Объем детали: \[V_{детали} = V_2 - V_1 = S \cdot 21 - S \cdot 12 = S \cdot 9\]

Выразим S из первого уравнения: \[S = \frac{2000}{12}\]

Подставляем в уравнение для объема детали: \[V_{детали} = \frac{2000}{12} \cdot 9 = \frac{2000 \cdot 9}{12} = \frac{18000}{12} = 1500 см³\]

Ответ: 1500 см³

4. Высота конуса равна 12, а диаметр основания – 10. Найдите образующую конуса.

Радиус основания конуса равен половине диаметра: r = d/2 = 10/2 = 5.

Образующая конуса l, высота h и радиус основания r связаны теоремой Пифагора: \[l^2 = h^2 + r^2\]

Подставляем значения: \[l^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169\]

Извлекаем квадратный корень: \[l = \sqrt{169} = 13\]

Ответ: 13

5. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём жидкости равен 40 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

Пусть H - высота конуса, R - радиус основания конуса.

Объем жидкости \[V_1 = 40 мл\] соответствует высоте \[H/2\]

Объем конуса с высотой H/2: \[V_1 = \frac{1}{3}πr_1^2 \frac{H}{2}\]

Объем всего конуса: \[V = \frac{1}{3}πR^2H\]

Так как уровень жидкости составляет 1/2 высоты, то радиус малого конуса (с жидкостью) относится к радиусу большого конуса как 1:2. То есть \[r_1 = \frac{R}{2}\]

Подставляем это в формулу для \[V_1\]: \[V_1 = \frac{1}{3}π(\frac{R}{2})^2 \frac{H}{2} = \frac{1}{3}π\frac{R^2}{4} \frac{H}{2} = \frac{1}{24}πR^2H\]

Следовательно, \[V_1 = \frac{1}{8} (\frac{1}{3}πR^2H) = \frac{1}{8}V\]

Если \[V_1 = 40 мл\] то \[V = 8V_1 = 8 \cdot 40 = 320 мл\]

Чтобы наполнить сосуд доверху, нужно долить \[V - V_1 = 320 - 40 = 280 мл\]

Ответ: 280 мл