Контрольная работа «Параллельные прямые. Сумма углов треугольника» Вариант І 1. Рис. 3.169. Дано: a || b, с - секущая, 1 + 2 = 102°. Найти: все образовавшиеся углы. 2. Рис. 3.170. Дано: 21 = Z2, Z3 = 120°. Найти: 24. 3. Отрезок AD - биссектриса треугольника АВС. Через точку D прове- дена прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая сторону АС в точ- ke F. Найти углы треугольника ADF, если ∠BAC = 72°. 4*. Прямая ЕК является секущей для прямых CD и MN (E ∈ CD, Ke MN). DEK равен 65°. При каком значении угла NKE прямые CD и MN могут быть параллельными?

Ответ:

1. Рис. 3.169

Дано: a || b, с - секущая, ∠1 + ∠2 = 102°.

Найти: все образовавшиеся углы.

• ∠1 и ∠2 - односторонние углы, сумма которых равна 102°.
• ∠1 = ∠2 = 102° / 2 = 51° (так как углы равны).
• Остальные углы находим, используя свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.
• Вертикальные углы с ∠1 и ∠2 также равны 51°.
• Смежные с ∠1 и ∠2 углы равны 180° - 51° = 129°.
• Вертикальные углы с этими углами также равны 129°.

Ответ: ∠1 = ∠2 = 51°, остальные углы равны 129°.

2. Рис. 3.170

Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 = 120°.

Найти: ∠4.

• ∠1 = ∠2, значит, треугольник равнобедренный.
• ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° (сумма углов треугольника).
• ∠1 + ∠2 = 180° - 120° = 60°.
• ∠1 = ∠2 = 60° / 2 = 30°.
• ∠4 - внешний угол треугольника, равен сумме двух углов, не смежных с ним.
• ∠4 = ∠1 + ∠3 = 30° + 120° = 150°.

Ответ: ∠4 = 150°.

3. Отрезок AD - биссектриса треугольника АВС

Через точку D проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая сторону АС в точке F.

Найти: углы треугольника ADF, если ∠BAC = 72°.

• AD - биссектриса, значит, ∠BAD = ∠DAC = 72° / 2 = 36°.
• DF || AB, значит, ∠ADF = ∠BAD = 36° (накрест лежащие углы).
• ∠AFD = ∠BAC = 72° (соответственные углы).
• ∠DAF = 180° - ∠ADF - ∠AFD = 180° - 36° - 72° = 72°.

Ответ: ∠ADF = 36°, ∠AFD = 72°, ∠DAF = 72°.

4*. Прямая ЕК является секущей для прямых CD и MN

DEK равен 65°. При каком значении угла NKE прямые CD и MN могут быть параллельными?

• Для параллельности прямых CD и MN необходимо, чтобы ∠DEK и ∠NKE были смежными и в сумме давали 180°.
• ∠NKE = 180° - ∠DEK = 180° - 65° = 115°.

Ответ: ∠NKE = 115°.

Ответ: