Контрольная работа «Параллельные прямые, сумма углов треугольника». 2 Вариант №1. Прямые а и в пересечены прямыми си д. Найдите угол а №2. Найдите ∠4, если ∠1=138°, ∠2=42°, ∠3=75°. №3. На рисунке а || b. Найдите сумму углов ∠1+∠2+∠3. №4. Маша решала задачу: «По углам на рисунке выясните, как расположены прямые а и b». Она записала: «а || b по свойству параллельных прямых». Права ли Маша? Если нет, то на какую теорему нужно сослаться? №5. В треугольнике MNF известно, что ∠N =90°, ∠M =30°, отрезок FD- биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD=20 см. №6. В четырехугольнике ABCD AD=BC. Найдите угол BAD.

№1.

На чертеже изображены две параллельные прямые, пересеченные секущими. Угол, смежный с углом 108°, равен 180° - 108° = 72°. Этот угол и угол α являются соответственными при параллельных прямых a и b и секущей c. Значит, они равны.

\[\alpha = 72^\circ\]

Ответ: \[\alpha = 72^\circ\]

№2.

Сумма углов, смежных с углами ∠1, ∠2 и ∠3, равна:

180° - 138° = 42°

180° - 42° = 138°

180° - 75° = 105°

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:

∠4 = 180° - (42° + 138° + 105°) = 180° - 285° = -105°

Что-то пошло не так, нужно проверить условие или чертеж.

Предположим, что ∠4 - внешний угол треугольника. Тогда:

\[\angle 4 = 180^\circ - (180^\circ - 138^\circ + 180^\circ - 42^\circ + 180^\circ - 75^\circ) = 138^\circ + 42^\circ + 75^\circ - 360^\circ\]

\[\angle 4 = 255^\circ - 180^\circ = 75^\circ\]

Тогда ∠4 = 75°.

Ответ: ∠4 = 75°

№3.

Если a || b, то ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° (сумма внутренних односторонних углов).

Ответ: 180°

№4.

Маша не права. Прямые a и b не параллельны, так как соответственные углы (75° и 75°) равны, что указывает на параллельность прямых a и b по свойству соответственных углов.

Ответ: Нет, Маша не права. Нужно сослаться на свойство соответственных углов.

№5.

В прямоугольном треугольнике MNF (∠N = 90°) ∠M = 30°. Отрезок FD - биссектриса. Найдем катет MN, если FD = 20 см.

В прямоугольном треугольнике MNF:

\[\angle F = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\]

FD - биссектриса, значит:

\[\angle NFD = \frac{1}{2} \cdot \angle F = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ\]

Рассмотрим треугольник NFD. В нем ∠N = 90°, ∠NFD = 30°, FD = 20 см.

Тогда ND = FD / 2 = 20 / 2 = 10 см (катет, лежащий против угла в 30°).

\[NF = FD \cdot \cos(\angle NFD) = 20 \cdot \cos(30^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\]

В треугольнике MNF:

\[MN = NF \cdot \tan(\angle F) = 10\sqrt{3} \cdot \tan(60^\circ) = 10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 30\]

Ответ: MN = 30 см.

№6.

В четырехугольнике ABCD AD = BC. Найдите угол BAD.

Так как AD = BC, то можно предположить, что ABCD - равнобедренная трапеция или параллелограмм.

Если ABCD - равнобедренная трапеция, то углы при основании AD равны. То есть ∠BAD = ∠ADC.

∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 30° + 40° = 70°.

Значит, ∠BAD = 70°.

Ответ: ∠BAD = 70°