Контрольная работа «Неравенства. Системы неравенств». 1-вариант 1) Докажите неравенство: a)(6y-1)(y+2) ≤(3y+4)(2y+1); 6) 4(x+2)≤ (x+2)²-2x. 2) Решите неравенства: a)6x-38≥4x+14, б)-5x+18<-18-2x. 3) Найдите наименьшее целое число х, удовлетворяющее неравенству: a)8-2(4x-5)≥3x-4, б)-19-3(7+x)<-5x+11. 4) При каких значениях переменной значение выражения 2х-4x-7 меньше значения выражения 5) Решите систему неравенств: a) {-15 + 4x > 13 11-3x-4', 6)-8(2x-9) + 12x < 76 6)Решите систему неравенств: 19-х 3x->7 4-1,5x3 5 2 7)Решите двойное неравенство 2 <3-x < 5 и укажите наименьшее целое решение этого неравенства. 3

Раскрываем скобки: \[ 6y^2 + 12y - y - 2 \le 6y^2 + 3y + 8y + 4 \] Упрощаем: \[ 6y^2 + 11y - 2 \le 6y^2 + 11y + 4 \] Вычитаем \[ 6y^2 + 11y \] из обеих частей: \[ -2 \le 4 \]

Неравенство верно, так как -2 меньше или равно 4.

Раскрываем скобки: \[ 4x + 8 \le x^2 + 4x + 4 - 2x \] Упрощаем: \[ 4x + 8 \le x^2 + 2x + 4 \] Переносим все в одну сторону: \[ 0 \le x^2 - 2x - 4 \] Решаем квадратное уравнение \[ x^2 - 2x - 4 = 0 \] Дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4(1)(-4) = 4 + 16 = 20 \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = 1 \pm \sqrt{5} \] Значит, \[ x \le 1 - \sqrt{5} \approx -1.236 \text{ или } x \ge 1 + \sqrt{5} \approx 3.236 \]

Переносим члены с x в одну сторону, числа в другую: \[ 6x - 4x \ge 14 + 38 \] Упрощаем: \[ 2x \ge 52 \] Делим обе части на 2: \[ x \ge 26 \]

Переносим члены с x в одну сторону, числа в другую: \[ -5x + 2x < -18 - 18 \] Упрощаем: \[ -3x < -36 \] Делим обе части на -3 (знак неравенства меняется): \[ x > 12 \]

Раскрываем скобки: \[ 8 - 8x + 10 \ge 3x - 4 \] Упрощаем: \[ 18 - 8x \ge 3x - 4 \] Переносим члены с x в одну сторону, числа в другую: \[ 18 + 4 \ge 3x + 8x \] Упрощаем: \[ 22 \ge 11x \] Делим обе части на 11: \[ 2 \ge x \] или \[ x \le 2 \] Наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству: 2.

Раскрываем скобки: \[ -19 - 21 - 3x < -5x + 11 \] Упрощаем: \[ -40 - 3x < -5x + 11 \] Переносим члены с x в одну сторону, числа в другую: \[ -3x + 5x < 11 + 40 \] Упрощаем: \[ 2x < 51 \] Делим обе части на 2: \[ x < 25.5 \] Наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству: 25.

Составляем неравенство: \[ 2x - \frac{4x-7}{3} < \frac{x}{4} - 1 \] Умножаем обе части на 12: \[ 24x - 4(4x-7) < 3x - 12 \] Раскрываем скобки: \[ 24x - 16x + 28 < 3x - 12 \] Упрощаем: \[ 8x + 28 < 3x - 12 \] Переносим члены с x в одну сторону, числа в другую: \[ 8x - 3x < -12 - 28 \] Упрощаем: \[ 5x < -40 \] Делим обе части на 5: \[ x < -8 \]

Решаем первое неравенство: \[ 4x > 13 + 15 \] \[ 4x > 28 \] \[ x > 7 \] Решаем второе неравенство: \[ -3x < -4 - 11 \] \[ -3x < -15 \] \[ x > 5 \] Решением системы является пересечение решений, т.е. \[ x > 7 \]

Решаем первое неравенство: \[ 19x - 17x \ge -26 + 29 \] \[ 2x \ge 3 \] \[ x \ge 1.5 \] Решаем второе неравенство: \[ -16x + 72 + 12x < 76 \] \[ -4x < 4 \] \[ x > -1 \] Решением системы является пересечение решений, т.е. \[ x \ge 1.5 \]

Решаем первое неравенство: \[ 3x > 28 \] \[ x > \frac{28}{3} \approx 9.33 \] Решаем второе неравенство: \[ \frac{9-x}{2} - \frac{4-1.5x}{5} > 3 \] Умножаем на 10: \[ 5(9-x) - 2(4-1.5x) > 30 \] Раскрываем скобки: \[ 45 - 5x - 8 + 3x > 30 \] Упрощаем: \[ 37 - 2x > 30 \] \[ -2x > -7 \] \[ x < 3.5 \] Решением системы является пересечение решений, но в данном случае пересечения нет, так как x должен быть одновременно больше 9.33 и меньше 3.5.

Вычитаем 3 из всех частей неравенства: \[ 2 - 3 < -\frac{2}{3}x < 5 - 3 \] \[ -1 < -\frac{2}{3}x < 2 \] Умножаем все части на -3/2 (знаки неравенства меняются): \[ (-1)(-\frac{3}{2}) > x > 2(-\frac{3}{2}) \] \[ \frac{3}{2} > x > -3 \] или \[ -3 < x < 1.5 \] Наименьшее целое решение этого неравенства: -2.