Контрольная работа «Метод координат» Г-9 Вариант 1 1. Даны точки А (2; 7), В(-2; 7). Найдите: а) координаты вектора АВ; б) длину вектора АВ. 2. Найдите длину отрезка МК и координаты его середины, если М (-11; 5), Κ (7; −9). 3. Напишите уравнение окружности с центром в А (-3; 2) и радиусом 4. 4. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А (2; 2) и В (4; 8). 5. Выясните, принадлежит ли точка С (2; √5) окружности с центром в точке D (7; 0) и радиусом, равным √30. 6*. Докажите, что четырехугольник MNKP, заданный координатами своих вершин М (2; 2), N (5; 3), Κ (6; 6), Р (3; 5), является ромбом, и вычислите его площадь.

1. Даны точки А (2; 7), В(-2; 7). Найдите:

1. а) координаты вектора АВ;
   Координаты вектора \[ \overrightarrow{AB} \] находятся вычитанием координат начала вектора (A) из координат конца вектора (B): \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-2 - 2; 7 - 7) = (-4; 0) \]
2. б) длину вектора АВ.
   Длина вектора \[ \overrightarrow{AB} \] равна: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4 \]

2. Найдите длину отрезка МК и координаты его середины, если М (-11; 5), Κ (7; −9).

1. Длина отрезка МК:
   Длина отрезка между двумя точками M(x₁, y₁) и K(x₂, y₂) находится по формуле: \[ |MK| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(7 - (-11))^2 + (-9 - 5)^2} = \sqrt{18^2 + (-14)^2} = \sqrt{324 + 196} = \sqrt{520} = 2\sqrt{130} \]
2. Координаты середины отрезка МК:
   Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое координат концов: \[ x_{с} = \frac{x_1 + x_2}{2}, y_{с} = \frac{y_1 + y_2}{2} \] \[ x_{с} = \frac{-11 + 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] \[ y_{с} = \frac{5 + (-9)}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] Середина отрезка МК имеет координаты (-2; -2).

3. Напишите уравнение окружности с центром в А (-3; 2) и радиусом 4.

Уравнение окружности с центром в точке (a; b) и радиусом R имеет вид: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] В данном случае a = -3, b = 2, R = 4. Подставляем значения: \[ (x - (-3))^2 + (y - 2)^2 = 4^2 \] \[ (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 16 \]

4. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А (2; 2) и В (4; 8).

Уравнение прямой, проходящей через две точки (x₁, y₁) и (x₂, y₂), можно найти по формуле: \[ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \] В данном случае A(2; 2) и B(4; 8). Подставляем значения: \[ \frac{y - 2}{8 - 2} = \frac{x - 2}{4 - 2} \] \[ \frac{y - 2}{6} = \frac{x - 2}{2} \] \[ 2(y - 2) = 6(x - 2) \] \[ 2y - 4 = 6x - 12 \] \[ 2y = 6x - 8 \] \[ y = 3x - 4 \]

5. Выясните, принадлежит ли точка С (2; √5) окружности с центром в точке D (7; 0) и радиусом, равным √30.

Уравнение окружности с центром D(7; 0) и радиусом √30 имеет вид: \[ (x - 7)^2 + (y - 0)^2 = (\sqrt{30})^2 \] \[ (x - 7)^2 + y^2 = 30 \] Подставим координаты точки C(2; √5) в уравнение окружности: \[ (2 - 7)^2 + (\sqrt{5})^2 = 30 \] \[ (-5)^2 + 5 = 30 \] \[ 25 + 5 = 30 \] \[ 30 = 30 \] Так как равенство выполняется, точка C(2; √5) принадлежит окружности.

6*. Докажите, что четырехугольник MNKP, заданный координатами своих вершин М (2; 2), N (5; 3), Κ (6; 6), Р (3; 5), является ромбом, и вычислите его площадь.

1. Доказательство, что MNKP - ромб:
   Для доказательства, что MNKP - ромб, нужно показать, что все его стороны равны. Найдем длины сторон: \[ |MN| = \sqrt{(5 - 2)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \] \[ |NK| = \sqrt{(6 - 5)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \] \[ |KP| = \sqrt{(3 - 6)^2 + (5 - 6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \] \[ |PM| = \sqrt{(2 - 3)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \] Так как все стороны равны, MNKP - ромб.
2. Вычисление площади ромба:
   Для нахождения площади ромба можно использовать формулу: \[ S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \], где d₁ и d₂ - длины диагоналей ромба. Найдем длины диагоналей: \[ |MK| = \sqrt{(6 - 2)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \] \[ |NP| = \sqrt{(3 - 5)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] Теперь найдем площадь: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2 = 8 \] Площадь ромба MNKP равна 8.