Контрольная работа «Квадратный трехчлен. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Решение задач с помощью рациональных уравнений.» Вариант 2. №1. Решите уравнение: 1) x⁴ - 24x² - 25 = 0 2) x -√x − 12 = 0 №2. Сократите дробь 3a²-5a-2 a²-4 №3. Решите уравнение 6 3 x-12 x²-36 - x²-6x + x²+6x = 0 №4. Постройте график функции у = x²-x-12 x-4 №5. Пассажирский поезд проходит расстояние, равное 120 км, на 1 ч быстрее, чем товарный. Найдите скорость каждого поезда, если скорость товарного поезда на 20 км/ч меньше скорости пассажирского.

№1. Решите уравнение:

1) x⁴ - 24x² - 25 = 0

• Шаг 1: Замена переменной Пусть \(t = x^2\), тогда уравнение примет вид: \[t^2 - 24t - 25 = 0\]
• Шаг 2: Решение квадратного уравнения Ищем корни квадратного уравнения через дискриминант: \(D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676\) \(t_1 = \frac{24 + \sqrt{676}}{2} = \frac{24 + 26}{2} = 25\) \(t_2 = \frac{24 - \sqrt{676}}{2} = \frac{24 - 26}{2} = -1\)
• Шаг 3: Обратная замена Возвращаемся к исходной переменной: \(x^2 = 25 \Rightarrow x_1 = 5, x_2 = -5\) \(x^2 = -1\) - нет решений, так как квадрат не может быть отрицательным.

Ответ: x₁ = 5, x₂ = -5

2) x - √x − 12 = 0

• Шаг 1: Замена переменной Пусть \(t = \sqrt{x}\), тогда уравнение примет вид: \[t^2 - t - 12 = 0\]
• Шаг 2: Решение квадратного уравнения Ищем корни квадратного уравнения через дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\) \(t_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4\) \(t_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{1 - 7}{2} = -3\)
• Шаг 3: Обратная замена и проверка корней Возвращаемся к исходной переменной: \(\sqrt{x} = 4 \Rightarrow x = 16\) \(\sqrt{x} = -3\) - нет решений, так как квадратный корень не может быть отрицательным. Проверяем корень x = 16: \(16 - \sqrt{16} - 12 = 16 - 4 - 12 = 0\) - корень подходит.

Ответ: x = 16

№2. Сократите дробь

• Шаг 1: Разложение числителя на множители Рассмотрим квадратный трехчлен \(3a^2 - 5a - 2\). Найдем его корни через дискриминант: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49\) \(a_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{6} = \frac{5 + 7}{6} = 2\) \(a_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{6} = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3}\) Тогда числитель можно представить как: \[3a^2 - 5a - 2 = 3(a - 2)(a + \frac{1}{3}) = (a - 2)(3a + 1)\]
• Шаг 2: Разложение знаменателя на множители Знаменатель \(a^2 - 4\) является разностью квадратов: \[a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)\]
• Шаг 3: Сокращение дроби \[\frac{3a^2 - 5a - 2}{a^2 - 4} = \frac{(a - 2)(3a + 1)}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{3a + 1}{a + 2}\]

Ответ: \(\frac{3a + 1}{a + 2}\)

№3. Решите уравнение

• Шаг 1: Определение ОДЗ Находим область допустимых значений: \(x^2 - 36
  eq 0 \Rightarrow x
  eq \pm 6\) \(x^2 - 6x
  eq 0 \Rightarrow x
  eq 0, x
  eq 6\) \(x^2 + 6x
  eq 0 \Rightarrow x
  eq 0, x
  eq -6\) Таким образом, \(x
  eq \pm 6, x
  eq 0\).
• Шаг 2: Приведение к общему знаменателю Общий знаменатель: \((x - 6)x(x + 6)\) \[\frac{6}{x^2 - 36} - \frac{3}{x^2 - 6x} + \frac{x - 12}{x^2 + 6x} = 0\] \[\frac{6x}{x(x^2 - 36)} - \frac{3(x + 6)}{x(x^2 - 36)} + \frac{(x - 12)(x - 6)}{x(x^2 - 36)} = 0\] \[\frac{6x - 3(x + 6) + (x - 12)(x - 6)}{x(x^2 - 36)} = 0\]
• Шаг 3: Упрощение числителя Раскрываем скобки и упрощаем числитель: \[6x - 3x - 18 + x^2 - 6x - 12x + 72 = 0\] \[x^2 - 15x + 54 = 0\]
• Шаг 4: Решение квадратного уравнения Ищем корни квадратного уравнения через дискриминант: \(D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 54 = 225 - 216 = 9\) \(x_1 = \frac{15 + \sqrt{9}}{2} = \frac{15 + 3}{2} = 9\) \(x_2 = \frac{15 - \sqrt{9}}{2} = \frac{15 - 3}{2} = 6\)
• Шаг 5: Проверка на ОДЗ \(x_1 = 9\) - подходит, так как \(9
  eq \pm 6, 9
  eq 0\). \(x_2 = 6\) - не подходит, так как \(x
  eq \pm 6, x
  eq 0\).

Ответ: x = 9

№4. Постройте график функции

• Шаг 1: Упрощение функции Разложим числитель на множители: \[x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)\] Тогда функция примет вид: \[y = \frac{x^2 - x - 12}{x - 4} = \frac{(x - 4)(x + 3)}{x - 4}\] Сокращаем дробь: \(y = x + 3\), при \(x
  eq 4\)
• Шаг 2: Определение точки разрыва В точке \(x = 4\) функция не определена. Найдем значение функции в этой точке, если бы она была определена: \(y = 4 + 3 = 7\)
• Шаг 3: Построение графика Графиком функции является прямая \(y = x + 3\) с выколотой точкой \((4, 7)\).

№5. Задача про поезда

• Шаг 1: Определение переменных Пусть \(v_1\) - скорость товарного поезда (км/ч), \(v_2\) - скорость пассажирского поезда (км/ч). Из условия: \(v_2 = v_1 + 20\)
• Шаг 2: Запись времени в пути Время, которое товарный поезд тратит на путь: \(t_1 = \frac{120}{v_1}\) Время, которое пассажирский поезд тратит на путь: \(t_2 = \frac{120}{v_2}\)
• Шаг 3: Составление уравнения Из условия задачи, пассажирский поезд тратит на 1 час меньше времени: \[t_1 - t_2 = 1 \Rightarrow \frac{120}{v_1} - \frac{120}{v_2} = 1\]
• Шаг 4: Решение системы уравнений Подставляем \(v_2 = v_1 + 20\) в уравнение: \[\frac{120}{v_1} - \frac{120}{v_1 + 20} = 1\] Приводим к общему знаменателю: \[\frac{120(v_1 + 20) - 120v_1}{v_1(v_1 + 20)} = 1\] \[\frac{120v_1 + 2400 - 120v_1}{v_1^2 + 20v_1} = 1\] \[\frac{2400}{v_1^2 + 20v_1} = 1\] \(v_1^2 + 20v_1 = 2400\) \(v_1^2 + 20v_1 - 2400 = 0\) Находим корни квадратного уравнения: \(D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2400) = 400 + 9600 = 10000\) \(v_{1_1} = \frac{-20 + \sqrt{10000}}{2} = \frac{-20 + 100}{2} = 40\) \(v_{1_2} = \frac{-20 - \sqrt{10000}}{2} = \frac{-20 - 100}{2} = -60\) - не подходит, так как скорость не может быть отрицательной. Тогда \(v_1 = 40\) км/ч, \(v_2 = 40 + 20 = 60\) км/ч.

Ответ: Скорость товарного поезда - 40 км/ч, скорость пассажирского поезда - 60 км/ч.