Контрольная работа I вариант 1. Решите уравнение: a) a² - 5a = 0 б) x² + 7x + 12 = 0 в) (x²+9)/x = 2x 2) x/x - 3/(x-5) = 0 ...

Решение:

1. а) Решим уравнение \( a^2 - 5a = 0 \)

1. Вынесем общий множитель \( a \) за скобки: \( a(a - 5) = 0 \).
2. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
3. Приравниваем каждый множитель к нулю: \( a = 0 \) или \( a - 5 = 0 \).
4. Отсюда находим корни: \( a_1 = 0 \) и \( a_2 = 5 \).

Ответ: \( a_1 = 0, a_2 = 5 \).

1. б) Решим уравнение \( x^2 + 7x + 12 = 0 \)

1. Это квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \).
2. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \).
3. \( D = 7^2 - 4 · 1 · 12 = 49 - 48 = 1 \).
4. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.
5. Найдём корни по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
6. \( x_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 · 1} = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \).
7. \( x_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 · 1} = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \).

Ответ: \( x_1 = -3, x_2 = -4 \).

1. в) Решим уравнение \( \frac{x^2 + 9}{x} = 2x \)

1. Определим область допустимых значений: \( x \neq 0 \).
2. Умножим обе части уравнения на \( x \): \( x^2 + 9 = 2x^2 \).
3. Перенесём все члены в одну сторону: \( 2x^2 - x^2 - 9 = 0 \).
4. Упростим: \( x^2 - 9 = 0 \).
5. Разложим на множители как разность квадратов: \( (x - 3)(x + 3) = 0 \).
6. Приравниваем каждый множитель к нулю: \( x - 3 = 0 \) или \( x + 3 = 0 \).
7. Находим корни: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -3 \).
8. Оба корня удовлетворяют условию \( x \neq 0 \).

Ответ: \( x_1 = 3, x_2 = -3 \).

2. Решим уравнение \( \frac{x}{x} - \frac{3}{x-5} = 0 \)

1. Для начала упростим первое слагаемое \( \frac{x}{x} \). При \( x \neq 0 \) это равно 1.
2. Уравнение примет вид: \( 1 - \frac{3}{x-5} = 0 \).
3. Определим область допустимых значений: \( x \neq 5 \).
4. Перенесём единицу в правую часть: \( -\frac{3}{x-5} = -1 \).
5. Умножим обе части на -1: \( \frac{3}{x-5} = 1 \).
6. Умножим обе части на \( x-5 \): \( 3 = x - 5 \).
7. Решим полученное линейное уравнение: \( x = 3 + 5 \).
8. \( x = 8 \).
9. Проверим, удовлетворяет ли корень условию \( x \neq 0 \) и \( x \neq 5 \). \( 8 \neq 0 \) и \( 8 \neq 5 \).

Ответ: \( x = 8 \).